3.Nevlastní integrál
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
a nebo
b, ale singulární bod může být i uvnitř intervalu).
⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
Nevlastní integrál
c
Robert Mařík, 2008 ×
x
y
u
−1
Z
∞
−1
e−x
2
d
x = lim
u→∞
Z
u
−1
e−x
2
d
x
Definice. Nechť
b ∈ R ∪ {+∞} a nechť funkce f (x) je integrovatelná na každém
intervalu [
a, u], kde a < u < b. Dále nechť buď platí b = ∞ nebo nechť f (x) není
ohraničená v okolí bodu
b. Existuje-li vlastní limita lim
u→b−
Z
u
a
f (x) dx = B, říkáme že
nevlastní integrál konverguje a píšeme
Z
b
a
f (x) dx = B. Pokud limita neexistuje,
nebo je nevlastní, říkáme, že integrál
Z
b
a
f (x) dx diverguje.
Poznámka 1. Pokud je v předchozí definici
b = ∞, nahradíme v definici jednostran-
nou limitu obyčejnou limitou.
⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
Nevlastní integrál
c
Robert Mařík, 2008 ×
x
y
u
−1
Z
−1
−∞
e−x
2
d
x = lim
u→−∞
Z
−1
u
e−x
2
d
x
Definice. Nechť
a ∈ R ∪ {−∞} a nechť funkce f (x) je integrovatelná na každém
intervalu [
u, b], kde a < u < b. Dále nechť buď platí a = −∞ nebo nechť f (x)
není ohraničená v okolí bodu
a. Existuje-li vlastní limita lim
u→a
+
Z
b
u
f (x) dx = A,
říkáme že nevlastní integrál konverguje a píšeme
Z
b
a
f (x) dx = A. Pokud limita
neexistuje, nebo je nevlastní, říkáme, že integrál
Z
b
a
f (x) dx diverguje.
Poznámka 2. Pokud je v předchozí definici
a = −∞, nahradíme v definici jedno-
strannou limitu obyčejnou limitou.
⊳⊳
⊳
⊲
⊲⊲
Nevlastní integrál
c
Robert Mařík, 2008 ×
x
y
u
v
Z
∞
−∞
e−x
2
d
x =
Z
0
−∞
e−x
2
d
x
+
Z
∞
0
e−x
2
d
x
= lim
u→−∞
Z
0
u
e−x
2
d
x + lim
v →∞
Z
v
0
e−x
2
d
x
Pokud singulární bod leží uvnitř intervalu (
a, b), a, b ∈ R ∪ {±∞}, nebo pokud jsou
singulárními body obě meze, rozdělíme interval přes který integrujeme na několik
podintervalů opakovaným využitím aditivity Riemannova integrálu vzheldem k
mezím a integrujeme na každém intervalu samostatně.