26) Logaritmické rovnice

Příklady z maturitních testů Cermat-u ( základní úroveň ) – Logaritmické rovnice

1) V oboru R řešte: log 0,1 + log(2x) = 1
Ostrý maturitní test Cermat-u ( základní úroveň ) – jaro 2011, příklad č. 11
Body: 2 Výsledek: x = 50 resp. 50 Podmínky: x > 0

Pracovní tematické zařazení: Logaritmické rovnice
Řešení:
1. způsob
log 0,1 + log(2x) = 1 1. věta o logaritmech: log ( 0,1 * 2x ) = 1
1. možnost – řešíme jako logaritmické rovnice 1 ( „doplňovačky“ ):
log ( 0,1 * 2x ) = 1 10

1 = 0,1 * 2x 10 = 0,2x 50 = x

2. možnost – převedení čísla 1 na logaritmus:
log ( 0,1 * 2x ) = 1 log ( 0,1 * 2x ) = log 10 odlogaritmování: 0,1 * 2x = 10
0,2x = 10 x = 50

2. způsob
log 0,1 + log(2x) = 1 log 0,1 = 1 – log(2x) log 0,1 = log 10 – log(2x)

2. věta o logaritmech: log 0,1 = log odlogaritmování: 0,1 = /* 2x

0,1 * 2x = 10 /: 0,1 2x = 100 x = 50

3. způsob
log 0,1 + log(2x) = 1 –1 + log(2x) = 1 log(2x) = 2
1. možnost – řešíme jako logaritmické rovnice 1 ( „doplňovačky“ ):
log(2x) = 2 10

2 = 2x 50 = x

2. možnost – převedení čísla 2 na logaritmus:
log(2x) = 2 log(2x) = log 100 odlogaritmování: 2x = 100 x = 50

Podmínky: 2x > 0 /: 2 x > 0
Poznámka: Rovnici lze řešit několika dalšími způsoby.
--------------------------------------------------

Příklady z maturitních testů Cermat-u ( základní úroveň ) – Logaritmické rovnice

2) V oboru R řešte:

Ostrý maturitní test Cermat-u ( základní úroveň ) – podzim 2011, příklad č. 6
Body: 2 Výsledek: x = 8 Podmínky: x > 0

Pracovní tematické zařazení: Logaritmické rovnice
Řešení:
1. způsob

log 2 2x – log 2 8 = 1 2. věta o logaritmech: log 2

= 1

1. možnost – řešíme jako logaritmické rovnice 1 ( „doplňovačky“ ):

log 2

= 1 21 = 16 = 2x 8 = x

2. možnost – převedení čísla 1 na logaritmus:

log 2

= 1 log 2 = log 2 2 odlogaritmování: = 2 2x = 16 x = 8

2. způsob
log 2 2x – log 2 8 = 1 log 2 2x = 1 + log 2 8 log 2 2x = log 2 2 + log 2 8
1. věta o logaritmech: log 2 2x = log 2 ( 2 * 8 ) odlogaritmování: 2x = 2*8 x = 8

3. způsob
log 2 2x – log 2 8 = 1 log 2 2x – 3 = 1 log 2 2x = 4
1. možnost – řešíme jako logaritmické rovnice 1 ( „doplňovačky“ ):
log 2 2x = 4 2

4 = 2x 16 = 2x 8 = x

2. možnost – převedení čísla 4 na logaritmus:
log 2 2x = 4 log 2 2x = log 2 16 odlogaritmování: 2x = 16 x = 8

Podmínky: 2x > 0 /: 2 x > 0
Poznámka: Rovnici lze řešit několika dalšími způsoby.
--------------------------------------------------
3) Je dána rovnice s neznámou x

∈ R: log

– 2 log x = 0

Řešením rovnice je: A) Ø B) {0} C) { 0,1; 10 } D) ( 0; + ∞ ) E) R\{0}
Ostrý maturitní test Cermat-u ( základní úroveň ) – jaro 2012, příklad č. 23
Body: 2 Výsledek: D

Pracovní tematické zařazení: Logaritmické rovnice
Řešení:
log

– 2 log x = 0 3. věta o logaritmech: 2 log x – 2 log x = 0

0 = 0 … pravdivá rovnost
Řešením rovnice ale není každé reálné číslo, neboť je ještě třeba stanovit podmínky:
a)