26) Logaritmické rovnice

> 0 … řešením jsou všechna reálná čísla kromě nuly … x Є ( – ∞, 0 ) υ ( 0, ∞ )

b) x

> 0 … x Є ( 0, ∞ )

Obě podmínky musejí platit současně ( a logické spojce „a současně“ odpovídá množinová
operace „průnik“ – viz příklad „klavíristé, tenisté“ ) … průnikem obou množin je
interval ( 0, ∞ ). Tento interval je tedy řešením zadané rovnice.
--------------------------------------------------

Příklady z maturitních testů Cermat-u ( základní úroveň ) – Logaritmické rovnice

4) V oboru R řešte: log

2 – log x = 1

Ostrý maturitní test Cermat-u ( základní úroveň ) – podzim 2012, příklad č. 5
Body: 2 Výsledek: x = 0,2 podmínky: x > 0

Pracovní tematické zařazení: Logaritmické rovnice
Řešení:
1. způsob

log

2 – log x = 1 2. věta o logaritmech: log = 1

1. možnost – řešíme jako logaritmické rovnice 1 ( „doplňovačky“ ):

log

= 1 101 = 10x = 2 x = 0,2

2. možnost – převedení čísla 1 na logaritmus:

log

= 1 log = log 10 odlogaritmování: = 10 2 = 10x 0,2 = x

2. způsob
log

2 – log x = 1 log 2 = 1 + log x log 2 = log 10 + log x

1. věta o logaritmech: log 2 = log 10x odlogaritmování: 2 = 10x 0,2 = x

3. způsob
log

2 – log x = 1 log 2 – 1 = log x log 2 – log 10 = log x

2. věta o logaritmech: log

= log x odlogaritmování: 0,2 = x

Podmínky: x > 0
Poznámka: Rovnici lze řešit několika dalšími způsoby.
--------------------------------------------------
5) V oboru R řešte:

( x – 8 ) = 1

Ostrý maturitní test Cermat-u ( základní úroveň ) – podzim 2014, příklad č. 11
Body: 1 Výsledek: K =

podmínky: x > 8

Pracovní tematické zařazení: Logaritmické rovnice
Řešení:
log4 ( x – 8 ) = 1
1. možnost – řešíme jako logaritmické rovnice 1 ( „doplňovačky“ ):
log4 ( x – 8 ) = 1 4

1 = x – 8 12 = x

2. možnost – převedení čísla 1 na logaritmus:
log4 ( x – 8 ) = 1 log4 ( x – 8 ) = log4 4 odlogaritmování: x – 8 = 4 x = 12

Podmínky: x – 8 > 0 x > 8
--------------------------------------------------

Příklady z maturitních testů Cermat-u ( základní úroveň ) – Logaritmické rovnice

6) Určete definiční obor a řešení rovnice s neznámou x Є R. log( 2 – x ) = –1
Ostrý maturitní test Cermat-u ( základní úroveň ) – jaro 2015, příklad č. 6
Body: 2 Výsledek: D(x) = ( –∞; 2 ), K =

Pracovní tematické zařazení: Logaritmické rovnice
Řešení:
log( 2 – x ) = –1
1. možnost – řešíme jako logaritmické rovnice 1 ( „doplňovačky“ ):

log( 2 – x ) = –1 10

– 1 = 2 – x

= 2 – x x = 2 –

x = 1,9

2. možnost – převedení čísla (–1) na logaritmus:

log( 2 – x ) = –1 log( 2 – x ) = log

odlogaritmování: 2 – x =

1,9 = x

Podmínky ( tj. definiční obor rovnice ): 2 – x > 0 2 > x x < 2 x Є ( – ∞, 2 )
--------------------------------------------------
7) Přiřaďte k oběma rovnicím a), b) řešeným v oboru R odpovídající množinu všech
řešení ( A – F ). a) log 2 x = –1 b) log 2 x