26) Logaritmické rovnice

2 = 0

A)

{ –2 } B) { –1 } C) { } D) { 1 } E) Ø F) jiná množina

Ostrý maturitní test Cermat-u ( základní úroveň ) – podzim 2015, příklad č. 25.3, 25.4
Body: 2 Výsledek: a) C b) F ( x1 = 1, x2 = –1 )

Pracovní tematické zařazení: Logaritmické rovnice
Řešení:
a) log 2 x = –1 … podmínky: x > 0
1. možnost – řešíme jako logaritmické rovnice 1 ( „doplňovačky“ ):

log 2 x = –1 2

– 1 = x

= x … C

2. možnost – převedení čísla (–1) na logaritmus:

log 2 x = –1 log 2 x = log2

odlogaritmování: x = … C

b) log 2 x

2 = 0 … podmínky: x2 > 0 x ≠ 0

1. možnost – řešíme jako logaritmické rovnice 1 ( „doplňovačky“ ):
log 2 x

2 = 0 2 0 = x2 1 = x2 x1 = 1, x2 = –1 … F

2. možnost – převedení čísla 0 na logaritmus:
log 2 x

2 = 0 log 2 x2 = log2 1

odlogaritmování: x2 = 1 x1 = 1, x2 = –1 … F

Pozor, velký „chyták“ – řešení s použitím 3. věty o logaritmech:
log 2 x

2 = 0 2 * log 2 x = 0 /: 2 log 2 x = 0

x = 1 … 2. řešení ( x2 = –1 ) „zmizelo“ – proč ??? … Výraz log 2 x

2 jsme pomocí 3. věty o

logaritmech převedli na výraz 2*log 2 x. Každý z těchto výrazů má ale jiný definiční obor
( tj. jiné podmínky ). Výraz log 2 x

2 má smysl pro všechna čísla x kromě nuly, zatímco

výraz 2*log 2 x má smysl pouze pro kladná čísla x. Tím 2. řešení ( x2 = –1 ) „zmizelo“, ale
podmínkám zadané rovnice log 2 x

2 = 0 přitom vyhovuje.

--------------------------------------------------

Příklady z maturitních testů Cermat-u ( základní úroveň ) – Logaritmické rovnice

8) Pro x Є R určete definiční obor rovnice ( podmínky ) a rovnici vyřešte.

log 8 – log 2 =

V záznamovém archu uveďte celý postup řešení.

Ostrý maturitní test Cermat-u ( základní úroveň ) – jaro 2016, příklad č. 15
Body: 3 Výsledek: D(x) = ( 1; +∞ ), K =

a postup řešení

Pracovní tematické zařazení: Logaritmické rovnice
Řešení:

log 8 – log 2 =

/* 2 2*log 8 – 2*log 2 = log( 2x – 2 )

3. věta o logaritmech: log 82 – log 22 = log( 2x – 2 ) log 64 – log 4 = log( 2x – 2 )
2. věta o logaritmech: log = log( 2x – 2 ) log 16 = log( 2x – 2 )
odlogaritmování: 16 = 2x – 2 18 = 2x 9 = x
podmínky: 2x – 2 > 0 2x > 2 x > 1 … x Є ( 1, ∞ )
--------------------------------------------------
9) V oboru R řešte:

3x = 6

Ostrý maturitní test Cermat-u ( základní úroveň ) – jaro 2017, příklad č. 12
Body: 1 Výsledek: K =

podmínky: x > 0

Pracovní tematické zařazení: Logaritmické rovnice
Řešení:
log 3 3x = 6
1. možnost – řešíme jako logaritmické rovnice 1 ( „doplňovačky“ ):
log 3 3x = 6 3

6 = 3x 729 = 3x 243 = x

2. možnost – převedení čísla 6 na logaritmus:
log 3 3x = 6 log 3 3x = log 3 729 odlogaritmování: 3x = 729 x = 243

Podmínky: 3x > 0 /: 3 x > 0
--------------------------------------------------
10) Pro všechna x, y Є ( 0, + ∞ ) platí: log y = 2log x + 2
Vyjádřete proměnnou y tak, aby zápis neobsahoval logaritmy.
Ostrý maturitní test Cermat-u ( základní úroveň ) – podzim 2017, příklad č. 7
Body: 1 Výsledek: y = 100x