36) Geometrická posloupnost

* 1,5 = *

= = 2 … pravdivé

C) a2 * q = 2 * 1,5 = 3 … pravdivé
D) a3 = 3 … pravdivé

E) a3 : q =

= 2 … nepravdivé

--------------------------------------------------
5) Druhý a třetí člen geometrické posloupnosti je a2 = 12, a3 = 18.
Jaký je součet prvních čtyř členů této posloupnosti ( a1 + a2 + a3 + a4 ) ?
A) 60 B) 64 C) 65 D) 72 E) jiný součet
Ostrý maturitní test Cermat-u ( základní úroveň ) – podzim 2013, příklad č. 23
Body: 2 Výsledek: C

Pracovní tematické zařazení: Geometrická posloupnost
Řešení:
sn = a1 * [( q

n – 1 ) : ( q – 1 )] … neznáme a1, q

a3 = a2 * q 18 = 12 * q 1,5 = q
například a2 = a1 * q 12 = a1 * 1,5 8 = a1
s4 = 8 * [( 1,5

4 – 1 ) : ( 1,5 – 1 )] s4 = 8 * ( 4,0625 : 0,5 ) s4 = 65

Poznámka: Úlohu je možné řešit i bez použití součtového vzorce.
a3 = a2 * q 18 = 12 * q 1,5 = q
například a2 = a1 * q 12 = a1 * 1,5 8 = a1
například a4 = a3 * q a4 = 18 * 1,5 a4 = 27
a1 + a2 + a3 + a4 = 8 + 12 + 18 + 27 = 65
--------------------------------------------------

Příklady z maturitních testů Cermat-u ( základní úroveň ) – Geometrická posloupnost

6) Kocourkovští potřebovali peníze na opravu cest. V prvním roce si půjčili 1 milion korun.
Nic nesplatili, proto ve druhém roce dluh narostl na 1,5 milionu korun. Protože
Kocourkovští peníze ani nadále nespláceli, dluh se v každém dalším roce zvýšil o 50 %
dluhu z předchozího roku. Ve kterém roce dluh poprvé překročil částku 15 milionů
korun ? A) v 6. roce B) v 8. roce C) v 9. roce D) v 10. roce
E) později než v 10. roce
Ostrý maturitní test Cermat-u ( základní úroveň ) – jaro 2014, příklad č. 19
Body: 2 Výsledek: B

Pracovní tematické zařazení: Geometrická posloupnost
Řešení:
Jedná se o úlohu typu „složené úrokování“, a to o procentuální nárůst.

an = a0 * ( 1 +

)

n 15 000 000 = 1 000 000 * ( 1 +

)

n /: 1 000 000

15 = ( 1 +

)

n 15 = 1,5n … exponenciální rovnice typu 3 ( zlogaritmování )

zlogaritmujeme: log 15 = log 1,5

n 3. věta o logaritmech: log 15 = n * log 1,5

= n 6,7 = přibližně n

Úloha je myšlena tak, že na konci 1. roku by Kocourkovští neplatili žádný úrok, čili na konci
1. roku by vrátili 1 000 000 Kč. Proto je k číslu 6,7 ještě třeba přičíst jedničku ( první
bezúročný rok ), čili 6,7 + 1 = 7,7 … dluh poprvé překročil částku 15 000 000 Kč v 8. roce

Správnost výpočtu můžeme ještě ověřit bez použití složeného úrokování prostým výpočtem
jednotlivých částek ( aktuální částku stačí vynásobit číslem 1,5 ):
konec 1. ( bezúročného ) roku … měli splatit 1 000 000 Kč
konec 2. roku … měli splatit 1 500 000 Kč
konec 3. roku … měli splatit 2 250 000 Kč
konec 4. roku … měli splatit 3 375 000 Kč
konec 5. roku … měli splatit 5 062 500 Kč
konec 6. roku … měli splatit 7 593 750 Kč
konec 7. roku … měli splatit 11 390 625 Kč
konec 8. roku … měli splatit 17 085 937,5 Kč … dluh poprvé překročil částku 15 000 000 Kč
v 8. roce
--------------------------------------------------