Řešené teoretické otázky č. 1
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
17. Napište kritérium řešitelnosti soustav lineárních rovnic (tzv. Frobeniovu větu).
Soustava Ax = b (a,b jsou vektory) má řešení právě tehdy když
Hod(A) = hod(A|b)
((A|b) = matice rozšířená)
Příklad:
1 1|1 ~ 1 1|1
2 2|3 0 0|1
h (A) = 1
h (A|b) = 2
-
Matice nemá řešení, protože ve druhém řádku vychází, že 0x2 = 1, což je nesmysl.
18. Co je regulární resp. singulární matice? Napište alespoň jedno kritérium, jak poznat, že
daná matice je regulární resp. singulární. -
Regulární matice je taková matice, která má inverzní matici a její determinant je
nenulový, její řádky jsou lineárně nezávislé.
-
Singulární matice je taková matice, která inverzní matici nemá a její determinant je roven
nule, její řádky jsou lineárně závislé.
19. Co je to permutace? Jak souvisí permutace s pojmem determinant?
Nechť M je množina, která má n prvků.
Permutací prvků množiny M nazveme uspořádanou (= žádný prvek se neopakuje) n – tici
prvků.
Determinantem čtvercové matice řádu nazýváme součet všech součinů prvků této
matice takových, že v žádném z uvedených součinů se nevyskytují dva prvky z téhož řádku ani
z téhož sloupce. Každý součin přitom označíme znaménkem permutace.
20. Popište jednu metodu výpočtu determinantu matice (n, m).
Pokud danou matici upravíme eliminací na dolní trojúhelníkovou matici a poté vynásobíme
prvky v hlavní diagonále matice, měli bychom dostat determinant.
21. Definujte vlastní číslo a vlastní vektor matice.
Nechť A je čtvercová matice typu (n, n) reálných, resp. komplexních čísel. Komplexní číslo
se nazývá vlastním číslem matice A existuje-li sloupcový vektor x (x<>0)eR
n, pro který platí