8. Obvody s rozprostřenými parametry

8.2 Model obvodu s prostorově rozloženými parametry: technická realizace, náhradní schéma zapojení elementu vedení s měrnými parametry modelované Γ článkem

Vytvořte další možné schéma náhradního obvodu dlouhého vedení.

♦

Kromě již použitého Γ-článku, může pro modelování nekonečně malého elementu vedení využít další základní modely podélně souměrných dvojbranů, a to T-článek a Π-článek. Příklad náhradního modelu vedení využívajícího posledně uvedeného článku je na obr. 8.3. Je z něj patrné rozdělní původních parametrů Ro a Co modelujících elektrickou složku elektromagnetického pole na dvě části zapojené na vstup a výstup elementu vedení, tak aby byl model souměrný.

Odvození rovnic si ukažme pro náhradní model vedení s Γ-článkem. Postup odvození je stejný jako u obvodů se soustředěnými parametry, s tím rozdílem, že uvažujeme kromě časové závislosti obvodových veličin i jejich závislost na souřadnici zavedené ve směru délky vedení, což je v našem případě souřadnice x. Dále uvažujeme, že napětí a proud se změní na elementu vedení dx z hodnoty napětí a proudu na jeho počátku (vstupu) na hodnoty napětí a proudu na jeho konci (výstupu) a že hodnoty parametrů vedení se s jeho délkou mění, což respektujeme v matematickém modelu změnou hodnot primárních parametrů homogenního vedení na elementu vedení dx o přírůstek odporu , indukčnosti , vodivosti a

8.3 Obvodové schéma elementu vedení – T článek

kapacity . Smyčková rovnice sestavená potom podle 2. Kirchhoffova zákona pro kladný smysl oběhu zvolený ve směru hodinových ručiček, viz obr. 8.4 vlevo, má tvar

,

kde členy uprostřed rovnice představují úbytky napětí na elementu vedení vzniklé od proudu v podélném směru vedení.

Uzlová rovnice sestavená potom podle 1. Kirchhoffova zákona, duální k předchozí rovnici, sestavená podle obvodu na obr. 8.4 vpravo má tvar

,

kde členy uprostřed rovnice představují „úbytky“ proudu na elementu vedení vzniklé od napětí v příčném směru vedení.

8.4 Aplikace Kirchhoffových zákonů na element vedení: smyčka, uzel

Poznamenejme, že vzhledem k závislosti obvodových veličin na více proměnných derivace vystupující ve smyčkové rovnici (Faradayův indukční zákon) a v rovnici pro uzel elementu vedení (rovnice kontinuity proudu) jsme nezapsali jako obyčejné (), ale parciální ().

Následně rovnice upravíme do přírůstkového tvaru na intervalu (tj. předpokládáme spojitě rozložené parametry)

a

,

které po stanovení limit pro

,

přejdou do tvaru

a

.

Obě rovnice tvoří soustavu parciálních diferenciálních rovnic s konstantními koeficienty, kterou eliminací jedné z obvodových veličin převedeme na řešení jediné parciální (hyperbolické) diferenciální rovnice 2. řádu pro proud nebo napětí následujícím postupem.

Za účelem eliminace proudu derivujeme podle souřadnice x parciální diferenciální rovnici pro napětí a podle času t parciální diferenciální rovnici pro proud, platí tedy