8. Obvody s rozprostřenými parametry

.

Uzlová rovnice sestavená potom podle 1. Kirchhoffova zákona pro kladný směr proudu orientovaný ven z uzlu má tvar

.

Následně rovnice upravíme do přírůstkového tvaru

,

,

které po stanovení limit pro

,

přejdou do tvaru

a

.

1. Bezeztrátové vedení

Pro vytvoření názoru na jevy probíhající na vedení není zapotřebí řešit vlnové rovnice v úplném tvaru. Za předpokladu, že vedení má nulové hodnoty parametrů R0, G0 přejdou vlnové rovnice do jednoduššího tvaru

a

,

který je modelem bezeztrátového (ideálního) vedení, jenž je dobrou aproximací v technické praxi používaného vedení vysokofrekvenčního.

Oba tvary vlnových rovnic bezeztrátového vedení jsou homogenní vlnové rovnice, protože jejich pravá strana je nulová. Mají stejný tvar, proto obě vlnové rovnice můžeme popsat jediným typem rovnice

,

kde funkce , řešení této rovnice viz níže, zastupuje obvodové veličiny a a konstanta vf je tzv. fázová rychlost vlnění, pro kterou ze srovnání výrazu u parciálních derivací druhého řádu podle času vlnových rovnic napětí a proudu plyne

,

tedy

.

Konstanta vf má fyzikální význam rychlosti šíření rozruchu v daném prostředí.

Nula na pravé straně znamená, že homogenní rovnice popisuje šíření vln obvodových veličin vedení až po jejich vybuzení, tedy bez přítomnosti zdrojů podél vedení. Ty se nacházejí jen na počátku nebo konci vedení a jejich vliv je tak v rovnicích zastoupen okrajovými podmínkami. Napěťová a proudová vlna (elektromagnetické vlnění) se tedy podél vedení samovolně pohybuje. Jelikož se jedná o homogenní vlnovou rovnici, existuje pouze obecné řešení této rovnice, pro které se dá odvodit záměnou nezávisle proměnných x a t, že každá (dvakrát diferencovatelná) funkce tvaru

je jejím řešením. První část řešení, funkce se vrůstajícím časem se „posouvá doleva“ rychlostí vf. Tato část řešení tedy popisuje postupnou vlnu šířící se v záporném směru osy x (zpětná vlna). Obdobně, druhá část řešení, funkce představuje vlnu šířící se v kladném směru osy x (přímá vlna). Obě funkce jsou netlumené a mají stálý tvar v daném čase určený funkcemi fz a fp. Důsledkem stálého tvaru funkce je i stálá hodnota obou argumentů , i když se souřadnice x a čas t mění. To vyžaduje, aby se účinek změny času dt i změny dráhy dx navzájem rušil, tak aby platilo nebo V teorii vlnění se oba argumenty funkcí fz a fp nazývají fází vlny, což znamená, že body určité fáze ve vlně se pohybují konstantní rychlostí vf, kterou nazýváme fázovou. Obě funkce fz i fp se tedy posunou v příslušném směru vůči referenčnímu časovému okamžiku za časový interval dt o vzdálenost . Funkci tak můžeme interpretovat v tom smyslu, že každý děj popsaný homogenní vlnovou rovnicí je tvořen superpozicí dvou vln, které nemění svůj tvar a velikost a které se šíří v opačných směrech rychlostí vf. Toto vedení tedy nezkresluje. Obecné řešení, je potom součtem teoreticky nekonečně mnoha takových vln, prakticky však lineární kombinací všech možných řešení, daných okrajovými podmínkami.