Pravděpodobnost - náhodné veličiny

5. Náhodná veličina, rozdělení pravděpodobnosti náhodné veličiny, distribuční funkce náhodné veličiny a její vlastnosti.

Náhodná veličina je reálná funkce definovaná na množině všech elementárních jevů (Ω), která každému jevu (ω) přiřadí reálné číslo X (ω) ∈ R.

Příklad s hodem kostkou

• Hod kostkou je funkce X

• Definiční obor je množina elementárních jevů Ω = {ω1, …, ω6}

• Obor hodnot je množina {1, …, 6}

• Předpis funkce X je – X(ωi) = i, i= 1, … 6

Obecný předpis náhodné veličiny - X : Ω → R

Náhodné veličiny dělíme na diskrétní (nabývá konečně nebo spočetně mnoha hodnot) a spojité (nabývá nespočetně mnoha hodnot)

Rozdělení pravděpodobnosti náhodné veličiny

• Udává „spravedlivost kostky“ - zdali jsou relativní četnosti výskytu náhodných jevů stejné

• Diskrétní veličiny – rozdělení pravděpodobnosti udává pravděpodobnostní funkce

• Spojité veličiny – rozdělení pravděpodobnosti udává hustota pravděpodobnosti

Distribuční funkce F – jednoznačně udává rozdělení pravděpodobnosti libovolné (diskrétní i spojité) náhodné veličiny

• „kumulovaná pravděpodobnost“ – v bodě x určuje celkovou pravděpodobnost jevu, že náhodná veličina nepřekročí hodnotu x

• Vlastnosti distribuční funkce

• Vztah distribuční funkce a pravděpodobnostní funkce

• Vztah distribuční funkce a hustoty

Číselné charakteristiky náhodných veličin (část otázky 6. a 7.)

• = teoretické číselné charakteristiky svázané s ROZDĚLENÍM náh. veličin (ne s odhadem!)

Střední hodnota náhodné veličiny / očekávaná hodnota

• Značení – EX (z anglického expected), µ

• Patří mezi míry polohy – udává očekávanou hodnotu, okolo které by se měla veličina vyskytovat

• = vážený průměr všech hodnot, které mohou nastat (váhy = jednotlivé pravděpodobnosti)

• Pro diskrétní veličiny

  • $EX = \sum_{i}^{}{x_{i} \bullet p(x_{i})}$

• Pro spojité veličiny

  • EX = ∫x • f(x) dx

• Vlastnosti střední hodnoty

Rozptyl náhodné veličiny

• Značení – varX, σ2

• Řadí se mezi míry variability

• Ukazuje jaká je očekávaná druhá mocnina vzdálenosti náhodné veličiny od střední hodnoty

• Definice (pro diskrétní i spojité) – za podmínky, že −∞ < EX < ∞

  • varX = E(X − EX)2

• Vzorec používaný pro výpočet (po úpravě)

  • varX = EX2 − (EX)2

  • EX2 – druhý moment

    • Výpočet druhého momentu pro diskrétní veličinu

      • $EX^{2} = \sum_{i}^{}{{x_{i}}^{2} \bullet p(x_{i})}$

    • Výpočet druhého momentu pro spojitou veličinu

      • EX2 = ∫x2 • f(x) dx

• Vlastnosti rozptylu

Směrodatná odchylka náhodné veličiny

• Značení – σ

• Je mírou statistické disperze

• Udává (zhruba), jak moc je náhodná veličina odchýlena od své střední hodnoty

• $\sigma = \sqrt{\text{varX}}$

Kvantily rozdělení náhodné veličiny

• pouze pro náhodné veličiny jejichž F(x) – (distribuční funkce) je spojitá a rostoucí na intervalu (0,1) - F(x) ≠ 0 a F(x) ≠ 1

  • podmínky pro distribuční funkce zajišťují, že funkce u: α -> uα je inverzní k distribuční funkci F