Statistika - náhodný výběr, bodový odhad

1. Náhodný výběr. Speciálně výběr z normálního rozdělení. Výběrový průměr a rozptyl, jejich rozdělení a kovariance.

Ve statistice (na rozdíl od teorie pravděpodobnosti) vycházíme z naměřených dat experimentu. Z těchto dat pak odhadujeme rozdělení náhodné veličiny X či některé z jejích vlastností.

Požadavky na experiment

1. Lze ho provádět opakovaně za stejných podmínek

2. Jednotlivé pokusy se neovlivňují

Náhodný výběr

• Definice:

Náhodným výběrem z rozdělení náhodné veličiny X nazveme n–tici nezávislých stejně rozdělených náhodných veličin X1, …, Xn pocházejících z rozdělení náhodné veličiny X.

• Realizace náhodného výběru je n naměřených hodnot x1, …, xn, získaných opakováním experimentu za stejných podmínek.

• Základní výběrové charakteristiky náhodného výběru

  • Výběrový průměr

    • $\overline{x} = \frac{1}{n}\sum_{i = 1}^{n}x_{i}$

  • Výběrový rozptyl

    • $s^{2} = \frac{1}{n - 1}\sum_{i = 1}^{n}{(x_{i} - \overline{x})}^{2}$

  • Výběrová směrodatná odchylka

    • $s = \sqrt{s^{2}}$

• Vlastnosti výběrových charakteristik

Náhodný výběr pocházející z normálního rozdělení

• X ∼ N (µ, σ2), kde µ, σ2 jsou neznámé parametry

• Výběrový průměr

  • $\overline{X} \sim \ N\ (\mu,\frac{\sigma^{2}}{n})$

  • Důsledkem -> $\frac{\overline{X} - \mu}{\sigma} \bullet \sqrt{n} \sim \ N\ (0,1)$

• Výběrový rozptyl

  • $\frac{(n - 1)}{\sigma^{2}} \bullet S^{2} \sim \ \chi^{2} \bullet \left( n - 1 \right),\ \ \ \ \ n > 1$

• $\overline{X}\text{\ a\ }S^{2}$ jsou nezávislé

Data

• Pro diskrétní veličiny – data se setřídí do tabulky četností

  • Hodnoty yi se v realizaci náhodného výběru opakují ni-krát

  • $n = \sum_{i = 1}^{k}n_{i}$

  • n – počet provedených pokusů, ni – četnost dané hodnoty yi, k– třída četnosti

• grafické znázornění dat – diagram četností

• spojité veličiny – data se třídí do k tříd (podobná tabulka jako tabulka četností jen jsou hodnoty yi uvedené jako intervaly

  • grafické znázornění se nazývá histogram

Odhad nějakého parametru se typicky značí stříškou – např. µ̂

Bodový odhad parametru rozdělení

• Bodový odhad parametru θ je funkce náhodného výběru θ̂ ≡ θ̂(X1, …, Xn) – je to funkce pozorování náhodného výběru -> bodový odhad je sám o sobě náhodná veličina!

• Hodnotu θ̂ musí být možné smysluplně interpretovat

  • Např. pokud odhadujeme střední hodnotu - θ = µ, pak $\widehat{µ} = \overline{X} = \widehat{\theta}(X_{1},\ldots,X_{n})$

• Nestranný bodový odhad

  • θ̂N(X1, …, Xn) je nestranný pokud,

Eθ̂N = θ

• = střední hodnota náhodné veličiny (našeho odhadu) by se měla rovnat skutečné hodnotě parametru θ

• Nejlepší nestranný bodový odhad – (vybíráme z vícero nestranných odhadů)

  • θ̂NN(X1, …, Xn) je nejlepší nestranný bodový odhad pokud,

• Rozptyl nejlepšího nestranného odhadu je nejmenší možný mezi všemi nestrannými odhady -> NN odhad má nejmenší rozptyl