3

přednáška 3

23.02 a 01.03.2003

Výpočet klotoidy

Pro jednoznačné zadání klotoidy jsou potřebné dvě hodnoty. Bývají to často libovolné dvě ze tří v základní rovnici klotoidy, respektive ze čtyř definičních hodnot klotoidy, tou čtvrtou je koncový úhel klotoidy τ. To umožňuje základní postup výpočtu, jak je uvedeno níže. Zadání může být také pomocí jedné z definičních hodnot a libovolnou další vytyčovací hodnotou. To pak vyžaduje použít iterační výpočet, ve kterém se k řešení přiblížíme opakovaným výpočtem s předem danou přesností.

Základní postup výpočtu

Ze zadaných dvou základních hodnot definujících klotoidu (mohou to být libovolné dvě z těchto: parametr, poloměr oskulační kružnice v koncovém bodě klotoidy, délka klotoidy, koncový úhel klotoidy). Dopočítá se podle následujících základních vztahů délka l a úhel τ (pokud nejsou přímo zadány).:

,

což je dříve uvedená základní rovnice klotoidy,

,

což je vztah pro koncový úhel klotoidy, který nám sděluje poměrně závažnou informaci, že úhel oblouku klotoidického je při stejné délce oblouku poloviční, než u kružnicového oblouku. Užitečnější je pro nás převrácená informace, že pro stejný úhel je klotoida dvakrát delší, než kružnice o stejném poloměru jako je koncový poloměr klotoidy (poloměr oskulační kružnice v koncovém bodě.

Vypočítá se x-ová a y-ová pořadnice koncového bodu. Dopočítají se všechny další základní vytyčovací hodnoty klotoidy. Příslušné odvozené vztahy mají tvar součtu členů nekonečně dlouhé řady (neexistuje přímý přesný výpočet):

Úhel τ se dosazuje v radiánech. Řada velmi rychle konverguje, stačí porovnávat absolutní velikost každého členu řady se stanovenou přesností běžně 0,001m). Pro běžné výpočty stačí první tři členy.

Po výpočtu souřadnic koncového bodu se snadno dopočítají všechny následující vytyčovací hodnoty pomocí goniometrických funkcí, jak lze snadno odvodit z obrázku. Dále jsou uvedeny názvy vytyčovacích hodnot a příslušné vztahy pro jejich výpočet z x a y. Vytyčení je vztažené k začátku klotoidy.

Poloha paty kolmice spuštěné ze středu oskulační kružnice na hlavní tečnu:

Poloha průsečíku koncové tečny s hlavní tečnou:

Délka koncové tečny:

Odsun tečny oskulační kružnice:

Vzepětí, vrcholová vzdálenost, vzdálenost průsečíku tečen od vrcholu oblouku (tato hodnota má rozumný význam jen pro čistě přechodnicový symetrický oblouk bez kružnicové části):

Začátek klotoidy se vytyčí (na samém začátku vytyčení) pomocí hlavní tečny klotoidy. Pouze u symetrického motivu čistě klotoidického (biklotoida) je hlavní tečna uvedena v tabulkách nebo se spočítá jednoduše z následujícího:

Pokud se jedná o motiv s kružnicovou částí oblouku nebo nesymetrický motiv, je výpočet hlavní tečny odlišný.