3

Výpočet symetrického čistě přechodnicového oblouku

Oblouk je zadán jednou z vytyčovacích hodnot klotoidy (v tomto příkladu koncovým poloměrem R) a informací, že se jedná o symetrický čistě přechodnicový oblouk vepsaný do tečen svírajících úhel αS, tím je vlastně zadán koncový úhel klotoidy τ. Klotoida je vlastně zadána dvěma údaji, tak jak jsme zvyklí a tak, jak je to jedině možné.

Vytyčovací a výpočetní schéma tohoto oblouku je jednoduché. Základem dalších úvah je uvědomění si, že středový úhel je celý vykrytý součtem koncových úhlů symetrických klotoid. Tedy:

Při zadaném úhlu αS snadno určíme

Ze vztahu pro koncový úhel klotoidy

dopočítáme při známém poloměru délku klotoidy l. Ze základní rovnice klotoidy

můžeme dopočítat parametr klotoidy A.

Základní výpočet

Pro délku klotoidy l a pro koncový úhel klotoidy τ (délka l je dopočítána pro zadaný koncový poloměr R) použijeme výše uvedený základní postup výpočtu klotoidy a určíme souřadnice koncového bodu klotoidy:

a další hlavní vytyčovací hodnoty klotoidy, jak jsou uvedeny výše. Délka hlavní tečny t je přímým výsledkem výpočtu.

Tuto metodu používá veškerý speciální software pro výpočty a projektování osy. Lze ji snadno naprogramovat v libovolném programovacím jazyce. Rovněž běžné programovatelné kalkulačky s kapacitou od asi 150 kroků ji zvládají. Je možné tento výpočet provést tabulkovými procesory. S jistou dávkou trpělivosti lze postup úspěšně použít i na běžné kalkulačce či ručně.

Pro běžné použití, tedy pro malé koncové úhly, není ani nezbytně nutné programovat cyklus s rozhodováním pro posouzení požadované přesnosti výpočtu, neboť stačí první tři členy výpočtu pro prakticky nezbytnou přesnost.

Tabulky I. – geometrická podobnost klotoid

Pro praktické použití (v době, kdy výpočetní technika nebyla běžně dostupná) byly spočítány Klotoidické tabulky (autoři Veselý, Kašpárek), které lze s úspěchem a účinně používat. Jejich pochopení je důležité pro pochopení vlastností klotoidy. Jejich část I. má univerzální platnost.

Část I. obsahuje vypočítané vytyčovací hodnoty pro jednu konkrétní klotoidu o parametru (tzv. jednotkový parametr) v rozsahu koncového úhlu klotoidy τ od 0g do 135g. Spočítané hodnoty jsou seřazeny podle τ, úhly se liší o malou hodnotu. Pro konkrétní hodnoty τ tedy máme výpočet hotový (pro jednotkovou klotoidu) a hodnoty můžeme rovnou opsat. Pro mezilehlé hodnoty použijeme lineární interpolaci mezi dvěma nejbližšími hodnotami. Mezi tabulkovými hodnotami se vyskytuje i koncový poloměr, ten ale bude odlišný od našeho požadovaného poloměru.

V dalším postupu využijeme geometrické podobnosti klotoid. Každá jednotlivá klotoida chápaná jako nekonečně dlouhá křivka je definovaná rychlostí změny křivosti a je jednoznačně popsaná svým parametrem. Všechny takové klotoidy jsou si geometricky podobné. Pokud chápeme klotoidu jako geometrickou křivku, která je pouze částí (užitečnou) nekonečně dlouhé klotoidy a tato část je omezená koncovým úhlem klotoidy τ, platí geometrická podobnost následovně pro všechny rozměry, které lze na klotoidách o stejném koncovém úhlu τ určit. Lze tvrdit, že poměr všech rozměrů na libovolných dvou klotoidách o shodném koncovém úhlu τ je shodný s poměrem parametrů těchto klotoid: