11.a 12.prednaska z BMA1 - extrémy funkcí, vyšetřování průběhu funkce
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
Diferenciální počet - III. část
(Extrémy funkcí a průběh funkce)
Jiří Vítovec
11. a 12. přednáška z BMA1 (6. týden semestru)
Přednášky z Matematiky
Určeno studentům FEKT VUT
22. října 2012
Obsah
Extrémy funkcí
Vyšetřování průběhu funkce
Extrémy funkcí
Definice
Řekneme, že funkce f má v bodě x0 lokální maximum (resp.
minimum), jestliže pro všechna x z nějakého okolí O(x0) platí
f (x ) ≤ f (x0),
resp. f (x ) ≥ f (x0)
.
Pokud pro všechna x z nějakého prstencového okolí b
O(x0) platí
předchozí nerovnosti ostře, mluvíme o ostrém lokálním maximu
(resp. minimu).
(Ostré) lokální maximum a minimum nazýváme souhrně (ostré)
lokální extrémy.
Poznámka
V dalším textu budeme slovo
”
ostré“ vynechávat a pod pojmem
lokální extrém budeme rozumět výhradně ostrý lokální extrém.
Věta
Nechť funkce f je diferencovatelná (tj. má vlastní derivaci) na
intervalu (a, b).
I
Je-li f 0(x ) > 0 pro každé x ∈ (a, b), pak f je na (a, b)
rostoucí.
I
Je-li f 0(x ) < 0 pro každé x ∈ (a, b), pak f je na (a, b)
klesající.
I
Funkce f je na (a, b) konstantní právě tehdy, když pro
všechna x ∈ (a, b) platí f 0(x ) = 0.
Pozor! Obrácené tvrzení neplatí.
Např. funkce f (x ) = x 3 je na
celém R rostoucí, ale v bodě x = 0
má nulovou derivaci.
Věta
Nechť funkce f je spojitá v bodě x0 a nechť existuje její derivace v
nějakém prstencovém okolí b
O(x0). Označme b
O−(x0) levé
prstencové okolí bodu x0 a b
O+(x0) pravé prstencové okolí bodu x0.
I
Jestliže platí
f
0(x) > 0 pro x ∈
b
O−(x0)
a
f
0(x) < 0 pro x ∈
b
O+(x0),
pak má funkce f v bodě x0 ostré lokální maximum.
I
Jestliže platí
f
0(x) < 0 pro x ∈
b
O−(x0)
a
f
0(x) > 0 pro x ∈
b