11.a 12.prednaska z BMA1 - extrémy funkcí, vyšetřování průběhu funkce

O+(x0),

pak má funkce f v bodě x0 ostré lokální minimum.

Definice
Je-li f 0(x0) = 0, pak bod x0 nazýváme stacionární bod funkce f .

Věta
Nechť funkce f má v bodě x0 lokální extrém. Potom f

0(x

0) = 0

(tj. x0 je stacionární bod funkce f ), nebo f

0(x

0) neexistuje.

Poznámka
Pozor! Opačné tvrzení neplatí. Tj. pokud f 0(x0) = 0, tak z toho
neplyne, že bod x0 je lokální extrém (viz např. f (x) = x

3 a x0 = 0).

Věta
Nechť f 0(x0) = 0 (bod x0 je stacionárním bodem) a f

00(x

0) 6= 0.

Pak má funkce f v bodě x0 lokální extrém a to

I

lokální maximum, jestliže f 00(x0) < 0,

I

lokální minimum, jestliže f 00(x0) > 0.

Příklad
Najděte lokální extrémy funkce f (x ) = −x 2 + 4x − 3.

Řešení:

(i) f 0(x ) = −2x + 4 = 0

⇔

x = 2.

x

(−∞, 2)

(2, ∞)

sgn f 0

+

−

f

%

&

Funkce f má tedy v x = 2 lokální maximum s hodnotou f (2) = 1.

(ii) f 0(x ) = −2x + 4 = 0

⇔

x = 2.

f 00(x ) = −2

⇒

f 00(2) = −2 < 0.

Funkce f má tedy v x = 2 lokální maximum s hodnotou f (2) = 1.

Příklad
Najděte všechny lokální extrémy následujících funkcí:

a) f (x ) = −x

4 −2x2+3

b) f (x ) = x +

2x

1 + x 2

c) f (x ) = x

2e−x

Řešení: a) max. v x = 0

b) neex. c) min. v x = 0, max. v x = 2

Definice (absolutní (globální) extrémy)

Největší a nejmenší hodnotu funkce f na uzavřeném intervalu
ha, bi ⊆ D(f ) nazýváme absolutním (globálním) maximem a
minimem funkce f na intervalu ha, bi.

Věta
Nechť f je spojitá a diferencovatelná funkce na uzavřeném
intervalu ha, bi. Pak absolutní extrém funkce f na ha, bi nastává
buď ve stacionárním bodě nebo v krajním bodě intervalu ha, bi.