11.a 12.prednaska z BMA1 - extrémy funkcí, vyšetřování průběhu funkce

Příklad
Nechť čísla x , y ∈ R, x, y ≥ 0 a spňují x + y = 20. Určete tato
čísla za předpokladu, že

a) x 2 + y 2 je maximální možná hodnota.

b) x 2 + y 2 je minimální možná hodnota.

Řešení:

a) x = 20, y = 0 nebo x = 0, y = 20

b) x = 10, y = 10

Příklad
Určete rozměry obdelníkové zahrady, chcete-li aby měla maximální
plochu, ale na oplocení máte pouze 44 m pletiva. [Řešení: 11 x 11.]

Důležité věty o diferencovatelných funkcích:

Věta (Fermatova)

Nechť f je spojitá na ha, bi a v bodě ξ ∈ (a, b) nabývá své
největší (nebo nejmenší) hodnoty. Nechť existuje f 0(ξ). Pak
f 0(ξ) = 0.

Věta (Rolleova)

Nechť funkce f je diferencovatelná na intervalu ha, bi a nechť
platí f (a) = f (b). Pak existuje ξ ∈ (a, b) takové že f 0(ξ) = 0.

Věta (Lagrangeova o přírustku funkce)

Nechť funkce f je diferencovatelná na intervalu ha, bi. Pak
existuje ξ ∈ (a, b) takové že

f

0(ξ) =

f (b) − f (a)

b − a

.

Vyšetřování průběhu funkce

Abychom byli schopni nakreslit co nejpřesněji graf funkce, je
potřeba znát její další vlastnosti (zatím umíme určit, kde funkce
roste či klesá a kde má lokální extrémy).

Definice
Funkce je konvexní (resp. konkávní) v bodě x0, pokud její graf
leží nad (resp. pod) tečnou v bodě x0 v nějakém jeho ryzím okolí.

Funkce je konvexní (resp. konkávní) na intervalu I , pokud je
konvexní (resp. konkávní) v každém bodě tohoto intervalu.

Věta
Nechť funkce f (x ) má (vlastní) druhou derivaci na intervalu (a, b).

I

Je-li f 00(x ) > 0 pro ∀ x ∈ (a, b), pak f je konvexní na (a, b).

I

Je-li f 00(x ) < 0 pro ∀ x ∈ (a, b), pak f je konkávní na (a, b).