11.a 12.prednaska z BMA1 - extrémy funkcí, vyšetřování průběhu funkce

Poznámka
Pozor! Opačné tvrzení neplatí. Např. funkce f (x ) = x 4 je konvexní
na R, ale f

00(0) = 0.

Definice
Řekneme, že funkce f má v bodě x0 inflexní bod, jestliže v bodě
x0 existuje tečna ke grafu funkce f a f

00 zde mění znaménko, tj.

funkce se mění v x0 z konvexní na konkávní, nebo opačně.

Poznámka
Tečna v bodě x0 není

”

klasická“, protože graf funkce f ji v tomto

bodě protíná. Pro inflexní bod x0 funkce f platí:

(i) f 00(x0) = 0,

(ii) f 00(x0) neexistuje (důvod: jelikož f

0(x

0) je nevlastní).

Obr.: x 3

Obr.: 3

√

x

Příklad
Zjistěte, pro která x ∈ R je funkce f (x) = x

3 − 6x2 + 6x − 3

konvexní, resp. konkávní a najděte její inflexní body.

Řešení:
f 0(x ) = 3x 2 − 12x + 6,

f 00(x ) = 6x − 12 = 0

⇔

x = 2.

x

(−∞, 2)

(2, ∞)

sgn f 00

−

+

f

∩

∪

Funkce je konvexní pro x ∈ (2, ∞), konkávní pro x ∈ (−∞, 2) a v
bodě x = 2 má inflexní bod s hodnotou f (2) = −7.

Definice (Asymptota - bez směrnice a se směrnicí)

I

Nechť x0 ∈ R. Přímka x = x0 se nazývá asymptota bez
směrnice funkce f v bodě x0 právě tehdy, když má funkce f v
bodě x0 alespoň jednu jednostrannou limitu nevlastní, tj.

lim

x →x

+

0

f (x ) = ±∞

nebo

lim

x →x

−

0

f (x ) = ±∞.

I

Nechť a, b ∈ R. Přímka y = ax + b se nazývá asymptota se
směrnicí funkce f pro x → ∞ (resp. pro x → −∞) právě
tehdy, když

a = lim

x →∞

f (x )

x

a

b = lim

x →∞

[f (x ) − ax ]

(resp.

a =

lim

x →−∞

f (x )

x

a

b =

lim

x →−∞

[f (x ) − ax ]).

Poznámka

I

Asymptota je tedy přímka, která je tečnou ke grafu funkce v
některém z jejích nevlastních bodů: