11.a 12.prednaska z BMA1 - extrémy funkcí, vyšetřování průběhu funkce
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
+
−
−
f
kladná
záporná
záporná
(ii) Spočítáme první derivaci a její definiční obor, tj.
f
0(x) =
−x2 − 2x
(x + 1)2
,
D(f
0) = R \ {−1}.
Nyní určíme stacionární body a intervaly monotonie, tj.
f
0(x) = 0
⇐⇒
−x(x + 2) = 0
⇐⇒
x1 = 0, x2 = −2.
x
(−∞, −2)
(−2, −1)
(−1, 0)
(0, ∞)
sgn f 0
−
+
+
−
f
&
%
%
&
Z tabulky vidíme, že funkce má v x = −2 lokální minimum a
v x = 0 lokální maximum. Spočtěme v těchto význačných
bodech funkční hodnotu.
f (−2) = 4,
f (0) = 0.
(iii) Spočítáme druhou derivaci a určíme její definiční obor
f
00(x) =
−2x − 2
(x + 1)4
=
−2
(x + 1)3
,
D(f
00) = R \ {−1}.
Určíme kritické body a intervaly konvexnosti a konkávnosti, tj.
f
00(x) = 0
⇐⇒
NŘ,
Druhá derivace tedy nemá žádný nulový bod. Nesmíme ovšem
zapomenout, že její znaménko se může změnit i v bodech, ve
kterých není definována (tj. v
”
dírách“ jejího definičního
oboru).
x
(−∞, −1)
(−1, ∞)
sgn f 00
+
−
f
∪
∩
(iv) Bod x = −1 je jediným bodem nespojitosti definičního oboru
funkce f , tj. asymptotu bez směrnice hledáme právě v tomto
bodě. Zjistíme limitní chování:
lim
x →−1+
−
x 2
x + 1
= − lim
x →−1+
x 2
x + 1
= −
1
0+
= −∞,
lim
x →−1−
−
x 2
x + 1
= −
lim
x →−1−
x 2
x + 1
= −
1
0−
= ∞.
Odtud plyne, že funkce má jedinou asymptotu bez směrnice o
rovnici x = −1. Určíme i asymptoty se směrnicí (pokud
existují):
a =
lim
x →±∞
−
x 2
x (x + 1)
=
lim
x →±∞
−
x 2
x 2 + x
= −1,
b =
lim
x →±∞
−
x 2
x + 1
− (−1)x
=
lim
x →±∞
x
x + 1
= 1.
Funkce f (x ) má tedy v ∞ i −∞ asymptotu se směrnicí, která
je dána rovnicí y = −x + 1.
(v) Nyní zkombinujeme všechny předchozí výpočty a obdržíme