11.a 12.prednaska z BMA1 - extrémy funkcí, vyšetřování průběhu funkce

(i) [x0, ±∞] - přímka x = x0 rovnoběžná s osou y

(asymptota bez směrnice).

(ii) [±∞, b] - přímka y = b rovnoběžná s osou x

(asymptota se směrnicí a = 0).

(iii) [±∞, ±∞] - přímka y = ax + b protínající osu x a osu y

(asymptota se směrnicí a 6= 0).

I

Asymptoty bez směrnice hledáme v bodech nespojitosti funkce
nebo na okraji definičního oboru funkce.

I

Pokud při výpočtu koeficientů a, b u asymptoty se směrnicí
jedna z limit neexistuje nebo je nevlastní, pak funkce
asymptotu se směrnicí nemá.

I

Pokud existuje asymptota se směrnicí, tak ve většině případů
vychází stejná asymptota jak pro x → ∞, tak pro x → −∞.
Tj. většinou můžeme počítat a, b jako limitu pro x → ±∞.

Celkový postup při vyšetřování průběhu funkce

(i) Přímo z funkce: D(f ), sudost či lichost, periodičnost,

průsečíky s osami, kladnost a zápornost.

(ii) Z první derivace: rostoucí a klesající, lokální extrémy.

(iii) Z druhé derivace: konvexní a konkávní, inflexní body.

(iv) Asymptoty: se směrnicí a bez směrnice.

(v) Načrtnutí grafu: ke všem výše zmíněným bodům dopočítáme

funkční hodnoty a zkombinujeme zjištěné
informace.

Příklad
Vyšetřete průběh funkce

f (x ) = −

x 2

x + 1

.

i) Funkčnímu předpisu vyhovují všechna reálná čísla taková, že

x + 1 6= 0. Proto máme D(f ) = R \ {−1}. Poněvadž platí

f (−x ) = −

x 2

−x + 1

6= ±f (x),

není zadaná funkce ani lichá, ani sudá. Zřejmě funkce nemůže
být ani periodická. Určíme průsečíky s osou x a s osou y :

f (x ) = 0

⇐⇒

x = 0

⇐⇒

Sx = Sy = [0, 0].

Nyní získáme intervaly, kde je funkce f (x ) kladná a záporná:

x

(−∞, −1)

(−1, 0)

(0, ∞)

sgn f