03_Signály II p

𝑓 𝑡 = A sin 𝜔𝑡

𝑓 𝑥 = 1 ∙ sin 𝑥

Harmonické signály a jednotková kružnice

Funkce:

,

1

1

−1

−1

𝑓 𝑡 = sin 𝜔𝑡

𝑓 𝑡 = cos(𝜔𝑡)

𝜔𝑡

cos(𝜔𝑡)

sin 𝜔𝑡

cos2 𝜔𝑡 + sin2 𝜔𝑡 = 1

cos2 𝜔𝑡 + sin2 𝜔𝑡 = 1

Základní goniometrický vztah:

, resp.

Řada: 𝟎,

𝟏
𝟐

,

𝟐

𝟐

,

𝟑

𝟐

, 𝟏

Harmonické signály a jejich vlastnosti

Harmonické signály:

sin, cos

Např. spojitá funkce sin

𝑓 𝑡 = A sin 𝜔𝑡 + 𝜑

𝑓 𝑡 = A cos 𝜔𝑡 + 𝜑

𝑓 𝑘 = A sin 𝜔𝑘 + 𝜑

𝑓 𝑘 = A cos 𝜔𝑘 + 𝜑

resp.

𝑓 𝑡 = A sin 𝜔 𝑡 + 𝜑

amplituda

úhlová frekvence

[rad.s-1]

čas

[s]

fáze (fázový posuv)

[rad]

𝜔 =

2𝜋

𝑇

Napište předpis pro spojitý sinusový signál s amplitudou 2,
periodou 10 s, posunutý doleva o 5 s.

Amplituda, frekvence a fáze signálu

3f soustava

Pasivní prvky

Operační zesilovač

Zvuk - audio

Počítání s komplexními čísly

Komplexní čísla

Co jsou komplexní čísla?

Co je imaginární jednotka „j“ (resp. „i“) ?

Jaké jsou formy (tvary) komplexních čísel?

Počítání s komplexními čísly

Tvary komplexních čísel

složkový

goniometrický / exponenciální

Eulerovy vztahy

Vztahy mezi komplexní exponenciální funkcí a goniometrickými (trigonometrickými) funkcemi sin a cos.

𝐴 𝑒𝑗𝑥 = 𝐴 (cos 𝑥 + 𝑗 sin 𝑥)

cos 𝑥 =

𝑒𝑗𝑥+𝑒−𝑗𝑥

2

sin 𝑥 =

𝑒𝑗𝑥−𝑒−𝑗𝑥

2𝑗

𝑧 = 𝑎 + 𝑗 ∙ 𝑏 = 𝑅𝑒 𝑧 + 𝑗 ∙ 𝐼𝑚 𝑧

𝑧 = 𝑧 ∙ 𝑐𝑜𝑠𝜑 + 𝑗 ∙ 𝑠𝑖𝑛𝜑 = 𝑧 ∙ 𝑒𝑗𝜑

Počítání s komplexními čísly

Základní matematické operace

součet

rozdíl

součin

podíl

mocnina

Komplexně sdružené číslo

Další vztahy

𝑧 = 𝑎 + 𝑗 ∙ 𝑏

𝑧 = 𝑎 − 𝑗 ∙ 𝑏

𝑎 + 𝑗 ∙ 𝑏 ∙ 𝑎 − 𝑗 ∙ 𝑏 = 𝑎2 + 𝑏2

𝑧𝑛 = 𝑧 𝑛 ∙ 𝑒𝑗𝑛𝜑 = 𝑧 𝑛 ∙ cos(𝑛𝜑) + 𝑗 ∙ sin(𝑛𝜑)