03_Signály II p

Komplexní exponenciální signál

signál, jehož hodnoty jsou komplexní čísla (na rozdíl od reálného exponenciálního signálu 𝑓 𝑡 = 𝑒𝑎𝑡)

popis:

využitím Eulerova vztahu lze psát:

𝑓 𝑡 = 𝑒𝑗𝜔𝑡

𝑓 𝑡 = 𝑒𝑗𝜔𝑡 = cos 𝜔𝑡 + 𝑗 ∙ sin 𝜔𝑡

… signál obsahuje Re i Im složku

𝑒𝑗𝜔𝑡 =

cos2 𝜔𝑡 + sin2 𝜔𝑡 = 1

… jednotkový vektor rotující v komplexní rovině úhlovou

frekvencí 𝜔 v závislosti na čase 𝑡

cos 𝜔𝑡

sin 𝜔𝑡

Komplexní exponenciální signál

Komplexní exponenciální signál:

𝑓 𝑡 = 𝑒𝑗𝜔𝑡 = cos 𝜔𝑡 + 𝑗 ∙ sin 𝜔𝑡

cos 𝜔𝑡

sin 𝜔𝑡

Reálná složka

Imaginární složka

Komplexní čísla a jejich využití

𝑧 = 𝑧 ∙ 𝑒𝑗𝜑

… viz např. BPC-EL2

Řešení obvodů s pasivními prvky

… viz např. BPC-EL2, BPC-MVE, … 

𝑍 =

𝑈

𝐼

𝑍 = 𝑅 + 𝑗 ∙ 𝑋

𝑍 = 𝑍 ∙ 𝑐𝑜𝑠𝜑 + 𝑗 ∙ 𝑍 ∙ 𝑠𝑖𝑛𝜑

Frekvenční analýza signálů

… viz např. BPC-UKB, BPC-SAS

Kde se lze s komplexními čísly setkat, resp. k čemu je to dobré?

Kompozice a dekompozice signálů

Kompozice = skládání signálů

základní myšlenka: z určitého počtu základních signálů poskládat složitější signál

využívají se matematické operace se signály (zejména sčítání, odčítání, násobení a posun v čase)

příklad – signál typu okno (angl. window) w(t)

f

1(t)

t

1

0

f

2(t)

t

1

0

w (t)

t

1

0

w (t) = f

1(t) - f2(t)

Kompozice a dekompozice signálů

Kompozice

příklad – kompozice harmonických signálů

a

𝝋 = 0

𝝋 =

𝜋

2

𝝋 = 𝜋

𝜔

𝜔

𝑢2 𝑡 = 0.5 sin

2𝜋

10

𝑡 + 𝝋

𝑢1 𝑡 = 0.5 sin

2𝜋

10

𝑡

Kompozice a dekompozice signálů

Kompozice

příklad – kompozice harmonických signálů

𝑢2 𝑡 = 0.1 sin 3 ∙

2𝜋

10

𝑡

𝑢1 𝑡 = 0.5 sin

2𝜋

10

𝑡

𝜔

𝜔

Obdélník ?