03_Signály II p

frekvenci. Jak

hráč na klavíru mačká více kláves naráz, vzniká složitá harmonie,

skládající se ze zvuků mnoha jednotlivých strun. A Fourierova transformace je
matematický aparát, který dokáže tuto harmonii rozložit opět na tóny jednotlivých strun.
Jakýkoliv ve své podstatě složitý signál, jako je třeba lidská řeč, hudba nebo výstup
z

magnetické rezonance je možno popsat jako součet různých frekvencí, právě díky

Fourierově transformaci (FT). Odborně se tomu říká, že dostaneme spektrum
signálu. Vztáhnuto ke klavírní analogii je spektrum návod, které klávesy a jak silně
zmáčknout, abychom z nástroje vyloudili původní zvuk před transformací.“

Pjotr Indyk, prof., Massachusetts Institute of Technology

Fourierova analýza

Spektrum

= vyjádření amplitud a fází jednotlivých harmonických složek ve frekvenční oblasti

𝑓 𝑡 = A sin 𝜔0𝑡 + 𝜑

𝑓 𝑡 = A sin

2𝜋

𝑇0

𝑡 + 𝜑

Fourierova řada

Princip: vyjádření libovolně složitého signálu za pomocí harmonických funkcí sin a cos

Pokud je signál periodický, je možné provést jeho rozvoj do tzv. Fourierovy řady:

𝑓 𝑡 = 𝑎0 + 2 ෍

𝑚=1

∞

𝑎𝑚𝑐𝑜𝑠 𝑚

2𝜋

𝑇0

𝑡 + 𝑏𝑚𝑠𝑖𝑛 𝑚

2𝜋

𝑇0

𝑡

𝜔0

𝜔0

𝑓 𝑡 = ෍

𝑚=−∞

∞

𝑐𝑚𝑒𝑗𝑚𝜔0𝑡

využitím Eulerova vztahu 𝐴 𝑒𝑗𝑥 = 𝐴 (cos 𝑥 + 𝑗 sin 𝑥) a dalších úprav

… komplexní forma Fourierovy řady

cm ... Fourierovy koeficienty – spektrální složky

𝑐𝑚 =

1

𝑇0

න

−𝑇

0

2

𝑇

0

2

𝑓 𝑡 𝑒−𝑗𝑚𝜔0𝑡𝑑𝑡

Fourierova transformace

Princip: zobecnění Fourierovy řady i pro neperiodické signály

𝑓 𝑡 = ෍

𝑚=−∞

∞

𝑐𝑚𝑒𝑗𝑚𝜔0𝑡

𝑓 𝑡 =

1

2𝜋

න

−∞

∞

𝐹 𝜔 𝑒𝑗𝜔𝑡 𝑑𝜔

… komplexní forma Fourierovy řady

… komplexní forma Fourierovy transformace

𝐹 𝜔 = න

−∞

∞

𝑓 𝑡 𝑒−𝑗𝜔𝑡 𝑑𝑡