Skripta - přednášky - RNDr. Zdeněk Svoboda

z1z2 = (a1 + b1)(a2 + b2) = a1b1 + 

2a

2b2 + a1b2 + a2b1 = a1b1 − a2b2 + (a1b2 + a2b1)

z1
z2

=

z1
z2

z2
z2

=

a1 + b1
a2 + b2

a2 − b2
a2 − b2

=

a1a2 − b1b2 + (a1b2 + a2b1)

a2 + b2

Zde pouˇ

zit´

e ˇ

c´ıslo z = a − b se naz´

yv´

a ˇ

c´ıslo komplexnˇ

e sdruˇ

zen´

e k ˇ

c´ıslu z = a + b. Komplexn´ı ˇ

c´ısla

z = x + jy zobrazujeme jako body v rovinˇ

e, pak |z| =

px2 + y2 je vzd´alenost bodu z = [x, y] od poˇc´atku,

kter´

e naz´

yv´

ame modul nebo velikost komplexn´ıho ˇ

c´ısla z = x + jy, a ϕ ´

uhel, kter´

y sv´ır´

a pr˚

uvodiˇ

c bodu

z = [x, y] s kladn´

ym smˇ

erem re´

aln´

e osy x a ϕ = arg z naz´

yv´

ame argumentem komplexn´ıho ˇ

c´ısla z. Dalˇs´ı

moˇ

znost´ı jak vyj´

adˇrit komplexn´ı ˇ

c´ıslo z = x + jy 6= 0 je goniometrick´

y tvar

z = x + jy = |z|(cos ϕ + j sin ϕ) = |z|(cos arg z + j sin arg z).

0.1 Komplexn´ı ˇ

c´ısla

3

Re z

Im z

y

−y

0

x

z

= x + jy

¯z = x − jy

|z|

arg z

1

Tento nov´

y z´

apis komplexn´ıch ˇ

c´ısel

”

zjednoduˇsuje“ n´

asoben´ı a dˇ

elen´ı komplexn´ıch ˇ

c´ısel:

|z1z2| = |z1||z2|

arg z1z2 = arg z1 + arg z2

0.1 Komplexn´ı ˇ

c´ısla

4

z1
z2

=

|z1|
|z2|

arg

z1
z2

= arg z1 − arg z2,

nav´ıc je moˇ

zn´

e snadno poˇ

c´ıtat mocniny komplexn´ıho ˇ

c´ısla

|z

n| = |z|n

arg z

n = n arg z

5

1

Vektory , vektorov´

e prostory

1.1

Motivace

Studenti stˇredn´ıch ˇskol se jiˇ

z sezn´

amili s pojmem vektor. V geometrii a fyzik´

aln´ıch ´

uvah´

ach se za vektor

povaˇ

zuje orientovan´

a ´

useˇ

cka ( dvojice bod˚

u ) , kter´

a je charakterizov´

ana velikost´ı smˇ

erem a orientac´ı.

V analytick´

e geometrii se tak´

e k popisu vektor˚

u pouˇ

z´ıvaj´ı uspoˇr´