Skripta - přednášky - RNDr. Zdeněk Svoboda
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
adan´
e dvojice resp. trojice re´
aln´
ych ˇ
c´ısel.
Uˇ
ziteˇ
cnost tˇ
echto n´
astroj˚
u je motivac´ı k
”
zobecnˇ
en´ı“.
Rozliˇsujeme pˇritom dva z´
akladn´ı typy - vektory a skal´
ary. Skal´
ary rozum´ıme ˇ
c´ısla - re´
aln´
a nebo kom-
plexn´ı.
1.2 Vektorov´
y prostor
6
1.2
Vektorov´
y prostor
Definice 1.1. Necht’ je d´
ana mnoˇ
zina V vektor˚
u a mnoˇ
zina skal´
ar˚
u S (ˇ
c´ısel). Necht’ je definov´
ana bin´
arn´ı
operace ⊕ : V 2 → V na mnoˇ
zinˇ
e V (sˇ
c´ıt´
an´ı vektor˚
u), takov´
a, ˇ
ze pro ~a,~b, ~c ∈ V plat´ı :
−
→
a ⊕
−
→
b =
−
→
b ⊕ −
→
a ,
(1.1)
(−
→
a ⊕
−
→
b ) ⊕ ~c = ~a ⊕ (
−
→
b ⊕ −
→
c ),
(1.2)
existuje prvek
−
→
0 ∈ V (nulov´
y vektor) takov´
y, ˇ
ze pro libovoln´
y prvek −
→
a ∈ V plat´ı
−
→
a ⊕
−
→
0 = −
→
a
(1.3)
ke kaˇ
zd´
emu vektoru −
→
a existuje vektor −
→
a (opaˇ
cn´
y vektor) takov´
y, ˇ
ze
−
→
a ⊕ ( −
→
a ) =
−
→
0
(1.4)
tuto skuteˇ
cnost tak´
e zapisujeme jako odˇ
c´ıt´
an´ı vektor˚
u
−
→
a −
→
a =
−
→
0
D´
ale je definov´
ana operace : S × V :→ V n´
asoben´ı vektoru skal´
arem
α ~a
1.2 Vektorov´
y prostor
7
Pro libovoln´
e vektory −
→
a ,
−
→
b ∈
−
→
V a libovoln´
e skal´
ary α, β ∈ S plat´ı
α (~a ⊕ ~b) = α ~a ⊕ α ~b
(1.5)
(α + β) ~a = α ~a ⊕ β ~b
(1.6)
α (β ~a) = (αβ) ~a
(1.7)
1 ~a = ~a
(1.8)
Potom trojici
−
→
V = (V, ⊕, ) naz´
yv´
ame vektorov´
ym prostorem.
Pˇrestoˇ
ze je tato definice pomˇ
ernˇ
e obecn´
a, coˇ
z umoˇ
zˇ
nuje studovat nejr˚
uznˇ
ejˇs´ı prostory ( pˇr´ıklady jsou
uvedeny v n´
asleduj´ıc´ı pozn´
amce ), lze pomˇ
ernˇ
e snadno dovodit nˇ
ekter´
e jednoduch´
e d˚
usledky
• Existuje jedin´
y ~0,nebot’ z existence dvou nulov´