Skripta - přednášky - RNDr. Zdeněk Svoboda

ceno jinak budou v n´

asleduj´ıc´ım textu vˇsechny vektorov´

e prostory

uvaˇ

zov´

any nad re´

aln´

ymi ˇ

c´ısly.

Tak jako je mnoˇ

zina polynom˚

u podmnoˇ

zinou mnoˇ

ziny vˇsech funkc´ı, tak i jin´

e podmnoˇ

ziny uzavˇren´

e

vzhledem k operaci sˇ

c´ıt´

an´ı a n´

asoben´ı, napˇr. prostor C[a, b] spojit´

ych funkc´ı na intervalu [a, b], prostor vˇsech

periodick´

ych funkc´ı s periodou p tvoˇr´ı vektorov´

e prostory. Na druhou stranu ne kaˇ

zd´

a podmnoˇ

zina prostoru

funkc´ı tvoˇr´ı vektorov´

y prostor, jako napˇr. mnoˇ

zina vˇsech periodick´

ych funkc´ı (souˇ

cet funkc´ı s r˚

uzn´

ymi

periodami nemus´ı b´

yt periodick´

a funkce), mnoˇ

zina nez´

aporn´

ych funkc´ı, nebot’ nen´ı uzavˇren´

a vzhledem k

n´

asoben´ı ˇ

c´ıslem atd.

Tyto ´

uvahy vedou k zaveden´ı pojmu podprostoru.

Definice 1.3. Necht’

−

→

V = (V, ⊕, ) je vektorov´

y prostor. Necht’ je d´

ana podmnoˇ

zina U ⊆ V. Jestliˇ

ze pro

vˇsechny −

→

u 1,

−

→

u 2 ∈ U a vˇsechna ˇc´ısla α plat´ı

−

→

u 1 ⊕

−

→

u 2 ∈ U,

α  −

→

u ∈ U,

je trojice

−

→

U = (U, ⊕, ) vektorov´

y prostor a ˇr´ık´

ame, ˇ

ze je podprostorem vektorov´

eho prostoru

−

→

V .

Poznamenejme, ˇ

ze pr˚

unik vektorov´

ych prostor˚

u je vektorov´

y prostor. Velmi d˚

uleˇ

zit´

ym pojmem je

line´

arn´ı z´

avislost resp. nez´

avislost vektor˚

u, proto zavedeme pojem line´

arn´ı kombinace vektor˚

u.

1.2 Vektorov´

y prostor

10

Necht’ ~a1, . . . , ~an jsou vektory a α1, . . . , αn jsou ˇc´ısla potom vektor

α1  ~a1 ⊕ α2  ~a2 ⊕ · · · ⊕ αn  ~an =

n

M

i=1

αi  ~ai

(1.9)

naz´

yv´

ame line´

arn´ı kombinac´ı vektor˚

u ~a1, . . . , ~an s koeficienty α1, . . . , αn.

Volbou αi = 0 pro i = i, . . . , n m´

a rovnice

Ln

i=1 αi  ~