Teorie ke zkoušce

VĚTA O PODMNOŽINĚ VEKTOR. PROSTORU

Podmnožina M vektorového prostoru V je množinou generátorů V právě tehdy, když každý vektor y∈V lze vyjádřit jako lineární kombinaci vektoru z M.

VĚTA O EKVIVALENTNÍCH ÚPRAVÁCH

Nechť x1, x2, ... , xk jsou generátory vektorového prostoru V a nechť y1, y2, ... , ym jsou vektory, které vznikly z vektorů x1, x2, ... , xk některou z následujících ekvivalentních úprav:

1) změnou pořadí vektoru ve skupině;

2) násobením libovolného vektoru nenulovým reálným číslem;

3) tak, že k libovolnému vektoru přičteme lineární kombinaci ostatních vektorů;

4) vynecháním vektoru, který je lineární kombinací ostatních vektorů (specielně lze vynechat nulový vektor, není-li to jediný vektor, který skupina obsahuje);

5) přidáním vektoru, který je lineární kombinací vektorů x1, x2, ... , xk.

Pak vektory y1, y2, ... , ym generují stejný vektorový prostor V

jako vektory x1, x2, ... , xk.

STEINITZOVA VĚTA

Nechť x1, x2, ... , xm jsou lineárně nezávislé vektory z vektorového prostoru V; nechť y1, y2, ... , yn jsou další vektory z V takové, že každý vektor xi je lineární kombinací vektorů y1, y2, ... , yn, tj. xi ∈ L( y1, y2, ... , yn ), i = 1, 2, ... , m. Potom platí m ≤ n.

VĚTA BÁZE

Libovolné dvě báze (konečně generovaného) vektorového prostoru V mají stejný počet vektorů.

VĚTY DIMENZE, LIN. ZÁVISLOSTI A BÁZE

1.Nechť V je vektorový prostor dimenze n a nechť x1, x2, ... , xm jsou vektory z V. Je-li m > n, pak jsou vektory x1, x2, ... , xm lineárně závislé.

2.Nechť V je vektorový prostor dimenze n, pak každá skupina n lineárně nezávislých vektorů x1, x2, ... , xn z V tvoří bázi vektorového prostoru V.

3.Nechť V je vektorový prostor dimenze n, x1, x2, ... ,xm jsou lineárně nezávislé vektory z V. Je-li m < n, lze vektory x1, x2, ... , xm doplnit na bázi V;to znamená, že existují vektory xm+1, ... , xn ∈ V takové, že x1, x2, ... , xm, xm+1, ... , xn je báze vektorového prostoru V.

4.Nechť S je podprostor vektorového prostoru V. Potom platí dim S ≤ dim V, přičemž rovnost dim S = dim V platí právě když S=V.

5.Dimenze vektorového prostoru Rn je rovna n, dimenze Rn=n

VĚTA O VLASTNOSTECH SKALÁRNÍHO SOUČINU

Nechť x, y, z jsou libovolné vektory z Rn, r∈R libovolné reálné číslo. Pak platí

1) x.y = y.x

2)(x + y).z = x.z + y.z

3) r(x.y) = (rx).y

4) x.x ≥ 0 , přitom x.x = 0 právě tehdy, je-li x = o.

VĚTA O ORTOGONÁLNÍCH VEKTORECH

Skupina nenulových vzájemně ortogonálních vektorů x1, x2, ... , xk je vždy lineárně nezávislá.

VĚTA O ORTOGONÁLNÍ BÁZI

Každý netriviální podprostor S vektorového prostoru Rn má ortogonální bázi.

VĚTA O LINEÁRNÍM OBALU ORTOGONÁLNÍHO DOPLŇKU

Nechť S ji podmnožina Rn. Pak platí (S⊥) ⊥ = L(S).

VĚTA O DIMENZI ORTOGONÁLNÍHO DOPLŇKU

Nechť S je podprostor Rn. Potom platí dim S⊥ = dim Rn - dim S .

VĚTA O VLASTNOSTECH MATICOVÝCH OPERACÍ