Teorie ke zkoušce

DEFINICE VEKTOROVÉHO PROSTORU

Vektorovým prostorem rozumíme neprázdnou množinu prvku V, na které jsou definovány dvě operace: sčítání prvku množiny V (každé dvojici prvku x, y∈V je jednoznačně přirazen prvek x+y∈V) a násobení prvku množiny V reálným číslem (každému prvku x∈V a každému reálnému číslu r∈ R je jednoznačně přiřazen prvek r.x∈V). Obě operace musí navíc (pro všechny prvky x, y, z∈V a všechna reálná čísla r, s ∈ R) splňovat následující axiomy:

A1: x + y = y + x , komutativní zákon

A2: x + (y + z) = (x + y) + z , asociativní zákon

A3: existuje prvek o∈V takový, že x + o = x ,

A4: r . (x + y) = r . x + r . y , distributivní zákon

A5: (r + s) . x = r . x + s . x , distributivní zákon

A6: r . (s . x) = (rs) . x ,

A7: 1 . x = x , 0 . x = o .

DEFINICE PODPROSTORU VEKTOROVÉHO PROSTORU

Neprázdná podmnožina S vektorového prostoru V se nazývá podprostor vektorového prostoru V, jestliže platí

1) pro všechna x, y∈S je x + y∈S (S je uzavřená vzhledem ke sčítání),

2) pro každé x∈S a každé reálné číslo r∈R je r.x∈S (S je uzavřená vzhledem k násobení reálným číslem).

DEFINICE LINEÁRNÍ KOMBINACE

Nechť x, x1, x2, ... , xk jsou vektory z vektorového prostoru V. Řekneme, že vektor x je lineární kombinací vektoru x1, x2, ... , xk , je-li x = c1x1 + c2x2 + ... + ckxk , kde c1, c2, . . . , ck jsou nějaká reálná čísla. Čísla c1, c2, ... , ck se nazývají koeficienty lineární kombinace .

DEFINICE LINEÁRNÍHO OBALU MNOŽINY

Nechť M je libovolná množina vektorů vektorového prostoru V, lineárním obalem množiny M (ve V) nazveme množinu všech lineárních kombinací vektorů z M, označíme ji L(M).

DEFINICE LINEÁRNÍ ZÁVISLOSTI

Vektory x1, x2, ... , xk∈V nazýváme lineárně závislé, jestliže existují reálná čísla

c1, c2, . . . , ck, z nichž alespoň jedno je nenulové, taková, že c1x1 + c2x2 + ... + ckxk = o .

Nejsou-li vektory x1, x2, ... , xk lineárně závislé, říkáme, že jsou lineárně nezávislé.

DEFINICE BÁZE A DIMENZE VEKTOR. PROSTORU

Nechť M⊆V je taková množina vektorů z V, že L(M) = V. Pak řekneme, že M generuje vektorový prostor V. Je-li množina M konečná, M = {x1, x2, ... , xk }, pak říkáme, že vektorový prostor V je konečně generovaný a vektory x1, x2, ... , xk nazýváme generátory tohoto prostoru.

DEFINICE BÁZE

Nechť M je množina lineárně nezávislých generátorů vektorového prostoru V. Pak říkáme, že množina M je bází vektorového prostoru V.

DEFINICE DIMENZE

Počet vektoru v bázi vektorového prostoru V nazveme dimenzí tohoto prostoru a značíme dim V. Dále definujeme dim o = 0.

DEFINICE ARITMETICKÉHO VEKTOROVÉHO PROSTORU

Nechť n∈N. Označme Rn množinu všech uspořádaných n-tic reálných čísel. Tedy Rn = (x1,x2, ... , xn); x1,x2, ... , xn∈R . Řekneme, že dvě uspořádané n-tice (x1,x2, ... , xn) a (y1,y2, ... , yn) z Rn jsou si rovny právě tehdy, když x1 = y1, x2 = y2, ... , xn = yn .