Teorie ke zkoušce

Nechť A, B a C jsou matice typu (m, n), r, s∈R. Pak platí

1) A + B = B + A, komutativní z.

2) A + (B + C) = (A + B) + C, asociativní z.

3) r(A + B) = rA + rB, distributivní z.

4) (r + s)A = rA + sA, distributivní z.

5) r(sA) = (rs)A.

VĚTA O VEKTOROVÉM PROSTORU MATICE

Množina Rmxn všech matic typu (m, n) spolu s operacemi sčítání matic a násobení matice reálným číslem tvoří vektorový prostor dimenze mn.

VĚTA O TROJÚHELNÍKOVÉ MATICI

Je-li matice T typu (m, n) trojúhelníková matice, pak h(T) = m.

VĚTA K TRANSPONOVANÉ MATICI

Nechť AT je transponovaná matice k matici A, pak platí h(A) = h(AT) .

VĚTA O HOMOGENNÍ SOUSTAVĚ LINEÁRNÍCH ROVNIC

Nechť je dána homogenní soustava m lineárních rovnic o n neznámých a nechť A je matice této
soustavy. Vektor ∈Rn je řešením této soustavy právě když ∈ R(A)⊥ v Rn.

dim R(A)⊥ = dim Rn - dim R(A) = n - h(A)

FROBENIOVA VĚTA

Soustava lineárních rovnic je řešitelná právě když hodnost matice soustavy A a hodnost rozšířené matice soustavy AR jsou stejné.

VĚTA K NEHOMOGENNÍ SOUSTAVĚ LIN. ROVNIC

Každé řešení nehomogenní soustavy lineárních rovnic lze zapsat jako součet , kde je libovolné (pevné) řešení nehomogenní soustavy a je nějaké řešení homogenní soustavy se stejnou maticí A.

VĚTA O PRAVIDLECH NÁSOBENÍ MATIC

Jsou-li A, B a C matice a r∈R libovolné reálné číslo, pak platí

1)A . (B. C) = (A.B) . C,

2)A . (B + C) = A.B + A.C,

3)(B + C) . A = B.A + C.A,

4)r . (AB) = (r A) . B = A . (rB),

mají-li uvedené výrazy smysl.

VĚTA O INVERZNÍ MATICI

Nechť A je čtvercová matice. Pak inverzní matice A-1 k matici A existuje právě tehdy, je-li A regulární.

VĚTA O REGULARNÍCH MATICÍCH

Nechť A, B jsou regulární matice stejného řádu. Potom matice AB je také regulární a platí

( AB) -1 = B-1.A -1. Je-li r∈R nenulové reálné číslo, pak (r A)-1 = (1/r) . A-1.

VĚTA O ŘEŠENÍ SOUSTAVY LIN. ROVNIC VÝPOČTEM INVERZNÍ MATICE

Nechť A . x = b je soustava n lineárních rovnic o n neznámých. Je-li matice soustavy A regulární, pak má soustava jediné řešení x = A-1. b .

VĚTA O TROJÚHELNÍKOVÉ MATICI A VÝPOČTU DETERMINANTU

Nechť A = (aij) je trojúhelníková matice řádu n. Pak platí detA = a11 a22 . . . ann.

VĚTA O ČTVERCOVÉ MATICI A VÝPOČTU DETERMINANTU

Nechť A je čtvercová matice řádu n. Pak platí

1) det AT = det A,

2) jestliže matice B vznikla z matice A přehozením dvou řádků (resp. sloupců), pak det B = - det A,

3) jestliže matice B vznikla z matice A vynásobením jednoho řádku (resp. sloupce) reálným číslem r∈R, pak det B = r det A,

4) jestliže matice B vznikla z matice A tak, že k jednomu řádku matice A byla přičtena lineární kombinace ostatních řádku, pak det B = det A,

5) jestliže také matice B a C jsou čtvercové matice řádu n takové, že k-tý řádek matice C, k = 1, 2, ... , n, je součtem k-tých řádků matic A a B a ostatní řádky mají všechny tři matice stejné, pak