Teorie ke zkoušce

DEFINICE JORDANOVY METODY

Řekneme, že matice A je Jordanova matice, jestliže první nenulový prvek v každém řádku je roven jedné a je to také jediný nenulový prvek v příslušném sloupci. Matice A navíc neobsahuje žádný nulový řádek

DEFINICE NÁSOBENÍ MATIC

Nechť A je matice typu (m, p), B je matice typu (p, n). Součinem matic A a B nazveme matici C typu (m, n), pro jejíž prvky platí cij = , i = 1,.. , m, j = 1, ... , n

DEFINICE SINGULÁRNÍ A REGULÁRNÍ MATICE

Nechť A je čtvercová matice řádu n, n∈N. Řekneme, že matice A je regulární, jestliže h(A) = n. Matici A, která není regulární, nazveme singulární maticí.

DEFINICE INVERZNÍ MATICE

Nechť A je čtvercová matice řádu n, n∈N. Jestliže existuje čtvercová matice A-1 řádu n, pro kterou platí A . A-1 = A-1. A = E , pak říkáme, že matice A-1 je inverzní maticí k matici A.

DEFINICE INVERZÍ V PERMUTACÍCH

Dvojici (ki, kj) nazýváme inverzí v permutaci π = (k1, k2, ... , kn), jestliže platí i< j a současně ki > kj.

DEFINICE SUDÉ A LICHÉ PERMUTACE

Permutace π se nazývá sudá, jestliže celkový počet inverzí r v této permutaci je sudé číslo. Permutace π se nazývá lichá, jestliže počet inverzí r je liché číslo.

DEFINICE DETERMINANTU MATICE

Nechť A je čtvercová matice řádu n,

A =

Determinantem matice A nazveme reálné číslo

det A =

Kde znamená součet přes všechny permutace π = (k1, k2, . . . , kn) sloupcových indexů (1, 2, . . . , n) a r je celkový počet inverzí v permutaci π .

SARRUSOVO PRAVIDLO

det A = a11a22a33 + a21a32a13 + a31a12a23 – a13a22a31 – a23a32a11 – a33a12a21

DEFINICE SUBSTITUCE MATICE – ROZVOJ PODLE ŘÁDKU NEBO SLOUPCE

Nechť A = (aij) je čtvercová matice řádu n, n > 1. Submaticí Aij matice A nazveme čtvercovou matici řádu n - 1, která vznikla z matice A vynecháním i-tého řádku a j-tého sloupce. Algebraickým doplňkem Dij prvku aij matice A nazveme číslo Dij = (-1)i + j det Aij .

DEFINICE VLASTNÍHO ČÍSLA

Nechť A je čtvercová matice řádu n. Jestliže pro nenulový vektor x∈Rn a komplexní číslo λ platí

pak číslo λ nazveme vlastní číslo matice A a vektor nazveme vlastní vektor matice A příslušející vlastnímu číslu λ.

VĚTA LINEÁRNÍHO OBALU MNOŽINY

Nechť M = { x1, x2, ... , xk } je neprázdná množina vektorů z vektorového prostoru V a nechť

L(M) = {∑ci xi ; vš. xi ∈ M, ci ∈ R, i=1, . . . , n}. Pak lineární obal L(M) množiny M je podprostor V

VĚTA LINEÁRNÍ ZÁVISLOSTI

1. Nechť x1, x2, ... , xk jsou vektory z vektorového prostoru V, k≥2, k∈N. Vektory x1, x2, ... , xk jsou lineárně závislé právě tehdy, je-li možné alespoň jeden z nich vyjádřit jako lineární kombinaci ostatních vektoru.

2. Nechť x1, x2, ... , xk jsou lineárně nezávislé vektory z V a nechť vektor y∈ V je lineární kombinací vektorů x1, x2, ... , xk, tedy y = c1x1 + c2x2 + ... + ckxk . Pak jsou koeficienty c1, c2, ... , ck této lineární
kombinace určeny jednoznačně.