Teorie ke zkoušce

Zaveďme operaci sčítání prvku množiny Rn předpisem (x1, x2, ... , xn) + (y1, y2, ... , yn) = (x1 + y1, x2 + y2, ... , xn + yn) a operaci násobení prvku množiny Rn reálným číslem r∈R r.(x1,x2, ... , xn) = (rx1, rx2, ... , rxn)

Množinu Rn s těmito dvěma operacemi nazveme aritmetickým vektorovým prostorem Rn. Prvky Rn, tedy uspořádané n-tice reálných čísel, nazveme aritmetickými vektory.

DEFINICE SKALÁRNÍHO SOUČINU

Nechť x = (x1, x2, ... , xn) a y = (y1, y2, ... , yn) jsou dva vektory z Rn. Skalárním součinem x.y nazveme reálné číslo x.y = x1y1 + x2 y2 + ... + xn yn .

DEFINICE JEDNOTKOVÉHO VEKTORU

Nechť x∈Rn. Reálné číslo  x = nazveme velikostí (normou) vektoru x. Vektor x se nazývá jednotkový (normovaný) vektor, jestliže x  = 1 .

DEFINICE ORTOGONÁLNÍCH VEKTORŮ

Vektory x, y z vektorového prostoru Rn se nazývají vzájemně ortogonální (kolmé), jestliže x.y = 0.

Vektory x1, x2, ... , xk tvoří ortogonální skupinu vektorů, jestliže každé dva různé vektory z této skupiny jsou navzájem ortogonální, tj. jestliže xi . xj = δij  xi 2, kde δij je tzv. Kroneckerův symbol, pro který δij = 1 pro i = j ,

δij = 0 pro i ≠ j .

DEFINICE ORTOGONÁLNÍ BÁZE

Báze x1, x2, ... , xm podprostoru S vektorového prostoru Rn, m≤n, se nazývá ortogonální, jestliže vektory x1, x2, ... , xm tvoří ortogonální skupinu vektorů. Jsou-li navíc x1, x2, ... , xm jednotkové vektory, nazýváme tuto bázi ortonormální bází S.

DEFINICE ORTOGONÁLNÍHO DOPLŇKU

Nechť S je podmnožina Rn. Ortogonálním doplňkem množiny S v Rn nazveme množinu v∈ Rn ; vx = 0 pro všechny vektory x∈ S , označíme ji S⊥.

DEFINICE MATICE

Matice A typu (m,n) ∈N je tabulka reálných čísel uspořádaná do m řádků a n sloupců

DEFINICE MATICOVÉ OPERACE

Řekneme, že matice A a B jsou si rovny (A=B), jsou-li to matice stejného typu (m,n) pro jejichž prvky platí aij = bij i = 1, 2, … m, j = 1, 2, … m

DEFINICE HODNOSTI MATICE

Hodností matice A typu (m, n) rozumíme dimenzi podprostoru Rn generovaného řádkovými vektory matice A. Hodnost matice A označíme h(A).

Poznámka. Hodnost matice je rovna nejvyššímu počtu lineárně nezávislých řádku matice. Hodnost nulové matice h(O) = 0.

DEFINICE TROJÚHELNÍKOVÉ MATICE

Řekneme, že matice T typu (m, n) je trojúhelníková matice, jestliže m≤n a pro prvky matice T platí

tij = 0 pro j < i a tii ≠ 0 pro i = 1, . . ., m.

DEFINICE TRANSPONOVANÉ MATICE

Nechť A je matice typu (m, n). Transponovanou maticí k matici A nazveme matici AT typu (n, m) pro
kterou platí, že i-tý řádek matice A je i-tým sloupcem matice AT .

DEFINICE GAUSSOVY ELIMINAČNÍ METODY

Řekneme, že matice A je Gaussova matice, jestliže první nenulový prvek v každém řádku je zároveň posledním nenulovým prvkem příslušného sloupce a matice A navíc neobsahuje žádný nulový řádek.

METODA: rozšířenou matici AR nehomogenní soustavy rovnic převedeme pomocí ekvivalentních úprav řádků na Gaussovu matici a zpětnou substitucí od poslední k první rovnici soustavy získáváme postupně jednotlivé neznámé.