Matematika ke zkoušce

n−1 y

(n−1) + . . . + a

2 y

00 + a

1 y

0 + a

0 y = f (x)

Velkou výhodou těchto rovnic je fakt, že řešení lze celkem snadno převést

na řešení algebraické rovnice řádu n, tedy např. u rovnice druhého řádu rov-
nice kvadratické a u rovnice třetího řádu rovnice kubické. Navíc tyto rovnice
mají poměrně velké uplatnění v kybernetice, pomocí nich lze poměrně dobře
popsat chování celé řady technicky i biologicky zajímavých soustav.

14viz matematický dodatek skript
15Dlužno však poznamenat, že zejména v technické literatuře se i ten „nesmyslnýÿ tvar

používá, protože z kontextu je obvykle čtenáři smysl jasný.

10

Ve farmakologii a možná že i ve fyziologii se budete pravděpodobně učit

o kompartmentovém modelu farmakodynamiky. Kompartmentový model lze
popsat soustavou lineárních diferenciálních rovnic prvního řádu v Cauchyho
tvaru, který lze celkem mechanicky převést na jednu lineární diferenciální
rovnici vyššího řádu.

2.1

Aplikace dif. rovnic – oscilátor

Zcela přímočarou aplikací je řešení kminavého pohybu. Představme si napří-
klad kuličku o hmotnosti m zavěšenou na pružině o tuhosti k. Vychýlíme-li
kuličku z rovnovážné polohy o výchylku x z klidové polohy, bude pružina
působit na kuličku silou:

F = −k · x

Zajímá-li nás časový průběh výchylky, můžeme si pomoci tím, že sesta-

víme pohybovou rovnici:

F = m · a

vztahy převedeme na jednu stranu a vzpomeneme si, že zrychlení je dru-

hou derivací okamžité polohy:

m · x

00 − F = 0

Síla, kterou pružina působí na kuličku, je vlastně rovna součinu výchylky a
tuhosti (viz výše), tedy:

m · x

00 + k · x = 0

podělíme-li obě strany rovnice hmotností kuličky, dostaneme vztah:

x

00 +

k

m

· x = 0

Což je vlastně lineární diferenciální rovnice s konstatními koeficienty druhého
řádu. K řešení je možné použít buď „kuchařkovýÿ postup, tedy zde metodu
výpočtu pomocí charakteristického polynomu.

K řešení lze ale použít i úvahu, která by navíc měla doknale ozřejmit

to, jak vlastně diferenciální rovnice „fungujíÿ. Zamyslíme se nad tím, zda
neznáme funkci, pro kterou platí, že až na konstantu a znaménko je rovna
své druhé derivaci. Takovou funkcí je třeba funkce:

x = sin(ωt)

pro její derivace platí:

x

0 = ω cos(ωt)

11

a

x

00 = −ω2 sin(ωt)

V úpravách budeme pokračovat tak, že dosadíme odhad funkce a její

druhou derivaci do diferenciální rovnice:

−ω

2 sin(ωt) +

k

m

· sin(ωt) = 0

Aby rovnost platila pro všechna t, musí zřejmě platit:

ω

2 =

k

m

protože všechna čísla jsou kladná, platí:

ω =

s

k

m

hledaným řešením je tedy funkce:

x(t) = sin

t ·

s

k

m

Číslo ω se nazývá kruhová frekvence harmonického oscilátoru a s frekvencí

f souvisí vztahem:

ω = 2πf

Jen pro úplnost je třeba dodat ještě dvě věci. Tou první je poznatek, že i po-
měrně „hezkéÿ diferenciální rovnice nejsou obecně analyticky řešitelné. Tato
situace je vzhledem k tomu, že diferenciální rovnice vlastně popisují základní
vztahy fyziky, chemie i fyziologie, velmi nepříjemná. V praxi se tedy obvykle
diferenciální rovnice řeší pomocí metod numerické matematiky, které umož-
nují hledat řešení metodami „hrubé sílyÿ16, nicméně i tak mohou některé
rovnice narážet na prohlém stability řešení, tedy na výraznou ovlivnitelnost
výsledku malou chybou.