Matematika ke zkoušce

3V praxi se takový model používá například při prenatálním screeningu vrozených

vývojových vad. Jeho vstupem jsou údaje o matce, hladiny některých analytů, trvání tě-
hotenství a některé rozměry plodu, výstupem je pak pravděpodobnost přítomností vrozené
vývojové vady.

4Jako nádorový marker se označuje po chemické a biologické stránce prakticky libovolný

analyt, jehož nárůst může indikovat přítomnost nádorového onemocnění.

2

Jako čistě fyzikální příklad lze použít rychlost. Zajímá nás nejen její sou-

časná hodnota, ale i to, jak se rychlost mění, tedy zrychlení.5

Představme si, že máme nějakou funkci f a že nás zajímá, jak rychle

funkce roste v bodě x0. Jednoduchým nápadem je zjistit si funkční hodnotu
v bodě, který je od bodu x0 vzdálen o ∆x a vést přímku (sečnu), která
protíná graf funkce f (x) v bodech f (x0) a f (x0 + ∆x) (modrá přímka na
následkujícím obrázku).

Pro směrnici, tedy číslo udávající rychlost stoupání, sečny platí:

k =

f (x0 + ∆x) − f (x0)

∆x

Pokud budeme ∆x zmenšovat tak, že se bude skoro nulové, tedy mate-

maticky korektně řekneme, že ∆x se limitně blíží nule. Sečna se tak vlastně
stane tečnou (červená přímka na obrázku), protože bude protínat dva prak-
ticky splývající body. Směrnici tečny pak nazveme derivací funkce f v bodě
x0. Formálně lze definovat derivaci v bodě x0 takto:

f

0(x

0) =

lim

∆x→0

f (x0 + ∆x) − f (x0)

∆x

Podle situace lze derivaci zapsat několika ekvivalentními způsoby:

f

0(x) =

df

dx

=

d

dx

f (x)

5Ostatně bylo to právě studium pohybu, které přivedlo Newtona na cestu vedoucí

k derivaci

3

Daný zápis čteme vždy stejně, totiž „derivace funkce f podle proměnné

xÿ. V případě, že se derivuje podle času, někdy se derivace značí tečkou nad
symbolem funkce.

Protože „rozumnéÿ funkce lze derivovat v každém bodě definičního oboru6,

lze tak vlastně každé funkci f (x) definované na nějakém internalu I přiřadit
funkci f 0(x) definovanou na intervalu I. Této funkci se říká derivace funkce
f na intervalu I.

pozn.:Lze ukázat, že derivace diferencovatelné funkce je vlastně lineárním

zobrazením na vektorovém prostoru diferencovatelných funkcí na intervalu I.
V praxi to znamená především to, že lze dobře budovat teorii diferenciálních
rovnic.

Protože derivací funkce na intervalu I je opět funkce, je celkem na místě

ptát se, zda lze i tuto funkci derivovat. Odpověď je kladná, opakováním
derivací se získávají derivace vyšších řádů.

Otázkou je ještě fyzikálná smysl derivací vyšších řádů. Jestliže například

derivací změny dráhy podle času je rychlost, pak druhá derivace dráhy podle
času je vlastně první derivací rychlosti podle času, tedy zrychlením. Druhou
derivaci lze tedy pokládat za ukazatel toho, jak rychle se mění změna funkce. .

Formální zápis n−té derivace je: