Matematika ke zkoušce

8Berte to jako varování, že existuje celá řada funkcí, které integrovatelné nejsou. Funkce,

které jsou na daném intervalu spojité, mají své primitivní funkce vždy, bohužel ne vždy
lze takovou primitivní funkci nalézt jinak než např. odhadem oklikou přes nekonečné řady.

9Numerický, tedy číselný, výpočet integrálu je jedna z velmi často řešených úloh počí-

7

Hodnotu určitého integrálu funkce f na intervalu < a, b > lze v případě,

že známe primitivní funkci F , spočítat celkem snadno. Vztah, který nám to
umožňuje, se obvykle nazývá Newtonova formule:

Z

b

a

f (x) dx = F (b) − F (a)

Vedle výpočtu ploch se určitý integrál uplatňuje i při zavedení některých

medicínsky a technicky významných hodnot. Tak například pro periodické
veličiny se definuje střední hodnota jako taková neproměnná hodnota, která
by měla za jednu periodu stejnou plochu pod křivkou jako zkoumaný peri-
odický průběh10. Tak například střední arteriální tlak krve (SAT , někdy i
M AP ) je při trvání srdečního cyklu T a časovém průběhu tlaku krve p(t)
dán vztahem:

SAT =

1

T

Z

T

0

p(t) dt

Následující empirický vztah nebo vztahy jemu podobné nejspíš znáte:

SAT =

psyst + 2 · pdiast

3

Takové empirické vztahy však dobře platí jen pokud jsou hodnoty tlaku,

tepové frekvence, elastických vlastností cév, reologických vlastností krve a
dalších parametrů blízké hodnotám fyziologickým. V případě odchylek se
deformuje průběh tlakové křivky a tím se mění i hodnota integrálu.

Jinou v medicíně, konkrétně ve farmakologii, často používanou hodnou je

hodnota zvaná plocha pod křivkou (AU C), pomocí kterého se počítá např.
biologická dostupnost léku z jednotlivých lékových forem. Matematicky jde
o plocha pod křivkou danou časovým průběhem koncentrace léku podaného
v jedné dávce v čase t = 0:

AU C =

Z

∞

0

c(t) dt

Parametr AU C je zároveň příkladem nevlastního integrálu, tedy inte-

grálu, jehož integrační meze sahají do nekonečna.

Způsobem zcela analogickým úvahám o určitém integrálu se lze dostat i

k vícerozměrným integrálům.

tačové matematiky. Zde popsaná metoda výpočtu cestou součtu ploch obdélníků je sice
teoretickým základem, pro praktické výpočty však obvykle nepostačuje svojí nepřesností.
Proto se používají modifikace, které nahrazují výpočet plochy obdélníka výpočtem plochy
pod nějakým polynomem.

10V technice se mnohdy počítá z absolutní hodnoty daného průběhu. Podle definice je

například střední hodnota sinusovky nulová, protože velikost plochy pod křivkou v první
a druhé polovině periody je stejná, liší se ale znaménkem.

8

2

Vysvětlete pojem diferenciálních rovnic, je-
jich význam, a vysvětlete na popisu někte-
rého fyzikálního jevu

Diferenciální rovnice je rovnicí, v níž vystupuje neznámá funkce a její deri-
vace, podle typu diferenciální rovnice různě „pospojovanéÿ. Pro mnohé může
být překvapující to, že řešením diferenciální rovnice je jedna nebo několik
funkcí.