Matematika ke zkoušce

Posledními důležitými pojmy, které s parciálními derivacemi souvisejí,

jsou diferenciál a gradient. Zhruba řečeno je diferenciál velikost derivace ve
směru maximálního spádu grafu funkce a gradient je vektor v definičním
oboru, který ukazuje směr nejvyššího spádu. Představíme-li si funkci dvou
proměnných jako výšku dejme tomu sjezdovky, pak je gradient směr, kterým
má svah největší spád, a diferenciál velikost spádu kvantifikuje (opět jako
směrnici tečny).

5

Gradient souvisí s parciálními derivacemi podle následujícího vztahu:

gradf (x, y) =

∂f

∂x

,

∂f

∂y

!

a diferenciál následujícím vztahem:

df (x, y) =

∂f

∂x

dx +

∂f

∂y

dy

1.3

Integrál

Možná jste již někdy slyšeli o několika „různýchÿ integrálech pojmenovaných
po velikánech matematiky, jakými byli např. Newton, Riemann, Leibnitz
nebo Lebesgue. Ve skutečnosti jde jen o uchopení téže problematiky na různé
míře obecnosti. Integrování, tedy výpočet integrálu, je postup opačný k deri-
vování. Podobně jako rozlišujeme derivaci v bodě a na intervalu, rozlišujeme
i integrál určitý a neurčitý.

1.3.1

Neurčitý integrál

Neurčitý integrál je vlastně postupem opačným ke zjištění derivace funkce
na intervalu. Základní úloha vedoucí na pojem neurčitého integrálu je násle-
dující:

Máme funkci jedné proměnné f (x) definovanou na nějakém intervalu I.

Ptáme se, zda existuje na intervalu I nějaká funkce F (x), pro kterou platí:

F

0(x) = f(x)

Ukazuje se, že taková funkce pro rozumné (tj. spojité) funkce existuje.

Funkci F nazýváme primitivní funkcí k funkci f . Vztah se obvykle zapisuje
takto:

F (x) =

Z

f (x) dx

Výpočetně snadno lze ověřit, že primitivní funkce F není určena jedno-

značně. Z vlastností derivace totiž plyne, že pro libovolnou diferencovanou
funkci F a libovolné reálná číslo C platí:

(F (x) + C)

0 = F 0(x)

Je-li tedy tato funkce F (x) primitivní funkcí k funkci f (x), je i funkce

F (x)+C primitivní funkcí k funkci f (x). Formálně se tedy výpočet primitivní
funkce zapisuje následovně:

F (x) =

Z

f (x) dx + c

, tedy že primitivní funkce je určena jednoznačně až na aditivní konstantu c.

6

1.3.2

Určitý integrál

Určitý integrál je vlastně zobrazením, které funkci f integrovatelné8 na in-
tervalu I přiřadí nějaké reálné číslo. Toto číslo však není libovolné a má tu
hezkou vlastnost, že je rovno obsahu plochy obrazce mezi grafem funkce f a
osou x. Plocha nad osou je přitom kladná a plocha pod plochou je záporná.

K ilustraci základních úvah vedoucích na (Riemannovu) definici určitého

integrálu dobře poslouží následující obrázek:

Představme si, že chceme zjistit plochu pod křivkou danou grafem funkce

f na intervalu < a, b >. Plochu můžeme odhadnout tak, že interval < a, b >
rozdělíme na několik dílů. Jistě bude platit, že plocha pod křivkou bude souč-
tem dílčích ploch na podintervalech < a, x1 >, < x1, x2 >, < x2, x3 >
a < x3, b >. Hodnotu plochy můžeme při dostatečně úzkém intervalu od-
hadnout jako plochu šedého obdélníka. Pro výšku obdélníka lze volit několik
hodnot – v teoretických úvahách se volí maximální a minimální hodnota
funkce na daném podintervalu, při numerických výpočtech se obvykle volí
levá nebo pravá funkční hodnota9.