Matematika ke zkoušce

f

(n)(x) =

dnf

dxn

=

dn

dxn

f (x)

Poslední věcí, kterou by bylo vhodné zmínit, je derivace funkcí více pro-

měnných. Derivaci lze zavést několika způsoby, poměrně názorným způsobem
je zavedení obecných směrových derivací.

Představme se funkci dvou proměnných, například výše použitý výpočet

BM I. Definičním oborem takové funkce je vlastně dvojrozměrná rovina7.
Představme si, že definičním oborem povedeme přímku h a bude nás zajímat
jen hodnota funkce nad touto přímkou. Tak vlastně získáme funkci jedné pro-
měnné, kde na „vodorovné oseÿ bude vzdálenost od nějakého pevného bodu
na přímce h a na „svislé oseÿ bude funkční hodnota v tomto bodě. Tuto funkci
jedné proměnné (např. nějaké parametrizace přímky h) lze celkem snadno
zderivovat. Hodnota derivace v udčitém bodě přímky h pak bude znamenat

6Takové funkce nazýváme diferencovatelné. Skutečně existuje celá řada funkcí, které

nemají derivaci. Jejich význam je však spíše teoretický a jejich případné aplikace jsou
hodně netriviální. Existence derivace v každém bodě je mimo jiné i známkou toho, že funkce
může popisovat nějaký přírodní děj, při kterém dochází k přesunům energie. Názornou
představou toho, že funkce je diferencovatelná, je to, že graf funkce je hladký a neobsahuje
ani skoky ani zuby. . .

7V případě BM I je definičním oborem spíše obdélník, protože nelze očekávat, že by

měl někdo hmotnost menší než 0 kg nebo větší než dejme tomu 300 kg a podobná omezení
platí i pro výšku.

4

rychlost, s jakou funkce roste nebo klesá ve směru přímky h. Zvláštní po-
stavení pak mají derivace ve směru jednotlivých souřadnicových os. Takové
derivace nazýváme parciálními derivacemi podle jednotlivých proměnných.
Budeme-li mít například funkci f následující:

f : z = f (x, y)

, můžeme zavést parciální derivace ve směru jednotlivých os. Parciální

derivace ve směru osy x se nazývá parciální derivací funkce f podle x. Ve
fyzice, technice a obvykle i v matematice se značí následujícím způsobem:

∂f

∂x

Méně často se, zejména v matematice, používá následující způsob zápisu:

fx

Protože derivací funkce na intervalu je opět funkce, lze celkem přiroze-

ným způsobem parciální derivace dále derivovat a získat tak druhé parciální
derivace. Zápis druhé parciální derivace funkce f podle y vypadá následovně:

∂2f

∂x2

Funkci lze zderivovat nejprve podle x a pak podle y, výsledkem je druhá

smíšená parciální derivace funkce f podle proměnných x a y. I když obecně
záleží na pořadí, podle kterého se derivuje, u fyzikálně zajímavých funkcí je
výsledek derivace v libovolném pořadí stejný. Zápis smíšené derivace vypadá
takto:

∂2f

∂x ∂y

Pořadí proměnných ve jmenovateli určuje pořadí, podle jakého má derivace
probíhat. Tedy výše uvedený příklad znamená, že se nejprve derivuje podle
proměnné x a až potom podle proměnné y.