Matematika ke zkoušce

1

Vysvětlete pojem derivace a integrace

1.1

Funkce

Pojmy derivace a integrál souvisejí se základním pojmem matematiky, totiž
s pojmem funkce. Poněkud zjednodušeně si lze funkci představit jako předpis,
který nějakému číslu přiřazuje jiné číslo. Například funkce logaritmus (log)
přiřazuje každému reálnému číslu hodnotu jeho logaritmu.

Formálních způsobů zápisu obecné funkce f je několik. Zcela obecný způ-

sob, kterým lze zapsat i mnohem obecnější pojem zobrazení:

f : Df → Hf

Tento zápis říká, že funkce f přiřazuje každému prvku množiny Df (tzv.

definiční obor) nějaký prvek množiny Hf (obor hodnot). V případě funkcí
jsou těmi (záhadnými;-) ) množinami intervaly a jejich prvky jsou reálná
čísla.

Funkci lze zadat několika způsoby, nejobvyklejší je analytický předpis,

tedy zápis vzorcem, a graf.

Funkční předpis se obecně zapíše následujícím způsobem:

f : y = f (x)

Tento předpis neříká nic jiného, než že když vezmeme nějaké číslo x z de-

finičního oboru a toto číslo „předhodímeÿ funkci f , získáme číslo y.

Konkrétním příkladem funkce zadané analyticky může být například po-

lynom (mnohočlen):

f : y = 5x

4 − 3x3 + 4x2 − 10x + 25

Funkce může popisovat (modelovat) celou řadu fyzikálních dějů, příkla-

dem může být závislost okamžitého stavu tlaku krve na čase1 Grafické zná-
zornění takového průběhu pak bude grafem takové funkce. Jiným příkladem
může být časová závislost teploty pacienta na čase nebo třeba závislost cel-
kové výšky člověka na délce femuru.

Zcela přirozeným způsobem lze rozšířit pojem funkce i na funkce více

proměnných. Tak například výpočet BM I2 lze zapsat jako funkci hmotnosti
a výšky:

BM I = f (m, h) =

m [kg]

h2 [m]

1V podobných případech je matematicky korektní pojem poněkud kostrbatý, proto se

obvykle hovoří spíše o časové závislosti okamžitého krevního tlaku nebo o časovém průběhu
krevního tlaku.

2Body Mass Index

1

Graf takové funkce lze pak nakreslit jako dvojrozměrnou plochu ve tříroz-
měrném prostoru:

V případě, že jde o funkci tří proměnných, si lze ještě udělat hrubou ná-

zornou představu o chování funkčních hodnot, pokud jde ale o funkci více
proměnných, nelze si výsledek dost dobře představit. Přitom charakter funkce
více proměnných mohou mít například pravděpodobnostní diagnostické mo-
dely, které na vstupu dostanou celou řadu klinických a laboratorních para-
mametrů a jejich výstupem je pravděpodobnost nějaké choroby.3

1.2

Derivace

V celé řadě případů nás nemusí zajímat jen funkční hodnoty, ale i to, jak
rychle se mění. Medicínskou analogií jsou například nádorové markery4 pou-
žívané v monitorování relapsu. Jako indikátor rizika relapsu (znovuvzplanutí)
se neuvažuje ani tak zvýšení hladiny markeru nad referenční hodnotu, jako
spíše to, že jeho hladina se začne zvyšovat s určitou dynamikou.