Matematika ke zkoušce

Vlastně tou nejjednodušší diferenciální rovnicí je integrování. Máme totiž

zadnáno:

F

0(x) = f(x)

a máme najít neznámou funkci F (x).
Pokud zůstaneme u funkcí jedné proměnné, dostaneme obecný pojem

obyčejné diferenciální rovnice. Obyčejná direfenciální rovnice je takovou rov-
nicí, ve které vystupují pouze kombinace různých stupňů derivace neznámé
funkce a její funkční proměnné. Název obyčejné však nesmí zmást – obyčejné
diferenciální rovnice nejsou obecně řešitelné.

Představme si, že máme funkci y11:

y = y(x)

Vezměměž12 dále funkcí n + 2 proměnných G a za jednotlivé proměnné

dosaďme:

G(x, y, y

0, y00, . . . , y(n−1), y(n))

Budeme-li se ptát, kdy je tato funkce rovna nule, tedy pro jaké funkce

y(x) platí:

G(x, y, y

0, y00, . . . , y(n−1), y(n)) = 0

dostaneme obyčejnou diferenciální rovnici. Číslu n říkáme řád diferenciální
rovnice. Nebude asi žádným překvapením, že obecné řešení13 diferenciální
rovnice není jednoznačně určené. K výběru z možných řešení je nutné pou-
žít okrajové podmínky, tedy další omezující požadavky na řešení, například
požadovanou hodnotu výsledné funkce v bodě nula, hodnotu první derivace
požadované funkce v bodě nula,. . .

11symbolika je volena kvůli kompatibilitě s matematickým dodatkem oficiálních skript
12text neprošel jazykovou korekturou
13Pokud je diferenciální rovnice řešitelná, vyjde obecné řešení jako kombinace několika

různých funkcí a několika libovolných konstant. Řešení tedy není jednoznačně určené, ale
přesto není zcela libovolné. Kdo si v tuto chvíli vzpomněl na obecný integrál, tak může
být ujištěn, že podobnost není náhodná.

9

Vzhledem k tomu, že některé typy diferenciálních rovnic lze celkem snadno

nebo pomocí „důmyslných fintÿ řešit, je třídění diferenciálních rovnic celkem
užitečné. Některé typy diferenciálních rovnic jsou:

Separovatelné diferenciální rovnice 1. řádu

jsou rovnice, které lze

ekvivalentními úpravami převést na tvar:

y

0 = f(x) · g(y)

celkem snadnými úpravami14 lze ukázat, že řešení má tvar:

Z

dy

g(y)

=

Z

f (x) dx

(při řešení integrálu na levé straně se na y pohlíží jako na proměnnou)
Ještě jednodušší řešení má rovnice tehdy, pokud je g(y) = y, tedy pokud

má tvar:

y

0 = y · f(x)

řešení takové rovnice je pak ve tvaru:

y(x) = y(0) · e

R x

0

f (t) dt

, kde y(0) je požadovaná hodnota hledané funkce v počátku (tedy okra-

jová podmínka). Za povšimnutí stojí proměnná t, která se objevila v expo-
nentu. Nejde o žádné kouzlo, jde pouze o formální přejmenování, protože
proměnná x se objevila jako integrační mez a její duplicitní výskyt by byl
z matematického hlediska nesmyslným15.

Lineární diferenciální rovnice n-tého řádu s konstantními koefici-
enty

jsou takové diferenciální rovnice, které lze zapsat ve tvaru:

an y

(n) + a