19) Lineární funkce

< 0. Klesajících přímek, které procházejí bodem

[ 0, 1 ], je ale nekonečně mnoho. K jednoznačnému určení hledané přímky g potřebujeme kromě
bodu [ 0, 1 ] znát alespoň ještě jeden další bod ležící na této přímce – na grafu vidíme, že na ní leží
bod [ 1, 0 ], jeho souřadnice tedy musejí vyhovovat rovnici ( předpisu ) přímky g.
g: y = ax + b víme, že b = 1 … y = ax + 1
bod [ 1, 0 ] Є g … 0 = a*1 + 1 –1 = a
g: y = –1x + 1 ( nebo stručněji y = – x + 1 )

Poznámka: Úlohu lze řešit i poněkud odlišným způsobem – souřadnice známých bodů [ 0, 1 ]
a [ 1, 0 ] dosadíme do rovnice y = ax + b, čímž získáme soustavu dvou lineárních rovnic o dvou
neznámých: bod [ 0, 1 ] Є g … 1 = a*0 + b
bod [ 1, 0 ] Є g … 0 = a*1 + b
Vyřešením soustavy zjistíme, že a = –1, b = 1 ( již z 1. rovnice plyne, že b = 1 … po dosazení
tohoto výsledku do druhé rovnice vypočítáme, že a = –1 ).
g: y = –1x + 1 ( nebo stručněji y = – x + 1 )
--------------------------------------------------

Příklady z maturitních testů Cermat-u ( základní úroveň ) – Lineární funkce

1p)

Který z bodů A, B, C nebo D neleží na přímce p umístěné v systému souřadnic 0xy ?
A) A[ –12; –8 ] B) B[ –9; –6 ] C) C[ 0; 0 ] D) D[ 6; 4 ]
E) Všechny uvedené body A, B, C i D leží na přímce p.
Ostrý maturitní test Cermat-u ( základní úroveň ) – jaro 2011 PUP, příklad č. 17
Body: 2 Výsledek: E

Pracovní tematické zařazení: Lineární funkce
Řešení:
Bod leží na grafu funkce, když jeho souřadnice vyhovují rovnici této funkce. Nejprve tedy musíme
zjistit rovnici přímky ( čili lineární funkce ) na obrázku.
Lineární funkce má rovnici y = ax + b ( a, b jsou libovolná reálná čísla … a,b Є R ).
Číslo a ovlivňuje sklon přímky: a > 0 … funkce rostoucí
a

< 0 … funkce klesající

a = 0 … funkce konstantní
Číslo b ukazuje, kde přímka protne osu y – tj. protíná jí v bodě [ 0, b ]

Z obrázku je ihned vidět, že b = 0 … po dosazení dostáváme rovnici y = ax + 0
Zbývá ještě dopočítat číslo a … do rovnice y = ax + 0 stačí dosadit souřadnice libovolného bodu,
který na dané přímce leží ( zde kromě bodu [ 0; 0 ], neboť neznámá a by z rovnice „zmizela“ ) …
… zvolíme např. bod o souřadnicích [ 3; 2 ]

y = ax + 0 2 = a*3 + 0 2 = 3a

= a

Rovnice přímky na obrázku je tedy y =

x + 0 ( stručněji y = x )

Po dosazení souřadnic zadaných bodů do rovnice y =

x snadno zjistíme, že ve všech případech

této rovnici vyhovují. Všechny uvedené body A, B, C i D tedy leží na zadané přímce.
--------------------------------------------------

Příklady z maturitních testů Cermat-u ( základní úroveň ) – Lineární funkce

1i) Graf lineární funkce prochází body

a

. Jaká je hodnota dané funkce

pro x = 3 ? A) –1,5 B) 1 C) 1,2 D) 1,5
Ilustrační maturitní test Cermat-u ( základní úroveň ) – 2010 (1), příklad č. 15
Body: 3 Výsledek: D

Pracovní tematické zařazení: Lineární funkce
Řešení:
Abychom zjistili hodnotu dané funkce pro x = 3, musíme nejprve určit rovnici této funkce. Oba
zadané body leží na jejím grafu, jejich souřadnice tedy musejí vyhovovat rovnici funkce.
rovnice lineární funkce: y = ax + b ( a, b jsou libovolná reálná čísla … a,b Є R )
A[ 2; 3 ] … 3 = a*2 + b /* (–1) –3 = –2a – b
B[ 6; –3 ] … –3 = a*6 + b –3 = 6a + b –6 = 4a –1,5 = a
–3 = 6*(–1,5) + b –3 = –9 + b 6 = b
rovnice zadané lineární funkce ( označíme ji např. f ): y = –1,5x + 6
funkční hodnota funkce f v bodě ( čísle ) x = 3 … f(3) = –1,5*3 + 6 = 1,5
--------------------------------------------------