Matematika_teorie_3

1. Jak se definuje (dělení oboru, integrální součty) a počítá (převod na dvojnásobný) dvojný integrál a jaký je jeho geometrický význam

Teorie:

Když zjemňujeme pokrytí plochy A obdélníky tak, že ∆ xi se blíží k 0, ∆ yi se blíží k 0, blíží se součet plošek S k jistému číslu I. Pak říkáme, že existuje dvojný integrál z funkce F(x,y) na oboru A, má hodnotu I a píšeme ∫ ∫ F(x,y)dx dy a platí když plocha A je ohraničená a uvnitř spojitá. Geometrický význam dvojného integrálu je obsah plochy.

Postup výpočtu:

1. Nakreslit definiční obor

2. Určit hranice

3. Převést z dvojného na dvojnásobný

4. Integrovat podle obou integrálů

Příklad 1.1

Zjistěte, zda lze dvojný integrál z funkce f(x,y) = x2 / 1+y2 na oboru R = [0,1] x [0,1] počítat jako součin dvou jednoduchých integrálů. Odůvodněte a vypočtěte

1. Definiční obor je čtverec o rozích [0,0] a [1,1]

2. Hranice x∈<0,1>, y∈<0,1>

3. ∫ ∫ x2 / 1+y2 dx dy = ∫ (∫ x2 / 1+y2 dx) dy

4. ∫ 1/3 ( 1 / 1+y2 ) dy = Π / 6

Příklad 1.2

Vypočtěte dvojný integrál:

Příklad 1.3

Příklad 1.4

Příklad 1.5

Příklad 1.6

Příklad 1.7

Příklad 1.8

Příklad 1.9

Vypočtěte obsah rovinné oblasti:

1. Jak se transformují dvojné integrály (obecně, příklady)

Teorie:

Jsou dány funkce x= ϕ (u,v), y=ψ (u,v), takové že:

1. Zobrazují obor B v rovině (u,v), na obor A v rovině (x,y)

2. Jsou na uzavřeném oboru B spojité a mají tam spojité parciální derivace

3. na oboru B platí J ≠0 .

Při transformaci se daný integrál na daném oboru převádí na integrál z jiné funkce na jiném oboru, který má však stejnou hodnotu.

Transformace do polárních souřadnic x= ρ∗cos ϕ , y= ρsin ϕ , J= ρ

Translace x=u+xo,y=v+ yo, J=1

Dilatace x=a*u, y=b*v,J=a*b

Vzorce:

Jakobián

Transformovaná funkce: I= ∫ ∫ f(ρ;ϕ) ∗ J dρ dϕ

Kružnice: x= ρ∗cos ϕ , y= ρsin ϕ , J= ρ

Elipsa: x= aρ∗cos ϕ , y= bρsin ϕ , J= abρ

Meze zjistíme dosazením původních mezí do nových rovnic.

Postup výpočtu:

1. Nakreslit definiční obor

2. Určit hranice

3. Převést do polárních souřadnic

4. Vypočíst Jakobián

5. Nakreslit nový definiční obor

6. Určit nové hranice

7. Vytvořit nový dvojný integrál (dosadit polární souřadnice do původního a vynásobit Jakobiánem)

8. Vypočíst transformovaný integrál

Příklad 2.1

Vypočtěte Jakobián transformace x = u2 – v2, y = 2uv

Dosazením do vzorce pro výpočet Jakobiánu  J=4u2+4v2

Příklad 2.2

Příklad 2.3

Příklad 2.4

Příklad 2.5

Vypočtěte hmotnost oblasti o hustotě

Příklad 2.6

Vypočtěte hmotnost oblasti o hustotě

1. Uveďte aplikaci dvojného integrálu (geometrické a fyzikální)

Teorie:

1. Plošný obsah obrazce A

2. Hmotnost

3. Lokální hustotu

4. Je li z=F(x,y) část plochy, jejíž kolmý průmět do roviny (x,y) je A, plošný obsah této časti.

5. Objem tělesa

6. Souřadnice těžiště

7. Momenty setrvačnosti

Vzorce:

Objem na plochou D:

Obsah oblasti D:

Hmotnost oblasti D: , kde σ je hustota