Matematika_teorie_3

1. Jak se definuje (dělení oboru, integrální součty) a počítá (převod na určitý) křivkový integrál ve vektorovém poli

Teorie:

Je dáno vektorové pole F a hladký jednoduchý orientovaný oblouk L, který rozdělíme na části a ke každému dílku vytvoříme skalární součin, přičemž á je vektor pole F, které patří k bodu M. Skalární součiny sečteme pro všechny části oblouku L. Dostaneme tak integrální součet S(á,L,D), který záleží na vektorové funkci á, křivce L a dělení D. Když při zjemňování dělení se integrální součet blíží k nějaké hodnotě I nezávisle na hodnotě D pak existuje Křivkový integrál 2. druhu. Píšeme ∫L á*dŕ = I.

Vzorce:

1. Co je to cirkulace a Greenova věta

Teorie:

Integrál ∫ →(a*dr) při uzavřené křivce L se nazývá cirkulace vektoru a podél křivky L. Vztah mezi křivkovým integrálem v rozvinutém vektorovém poli a integrálem dvojným popisuje Greenova věta: Je dána kladně orientovaná po částech hladká uzavřená křivka L, která ohraničuje rovinou oblast D a vektorová funkce a=(ax(x,y)+ay(x,y)), jejíž složky mají spojité parciální derivace na D.

Pak platí ∫ L(axi + ayi ) * dr = ∫ ∫ D (δay / δx− δax / δy) dx dy.

1. Nakreslíme obrázek

2. Vytvoříme parciální derivace x-ové (P) podle y a y-ové (Q) podle x složky

3. Pokud platí , můžeme použít Greenovu větu

4. potom platí:

Příklad 12.1:

Zjistěte, zda můžeme použít Greenovu větu pro výpočet integrálu ∫ (x+y)dx – 2y dy po čtvrtině elipsy x=a cos t, y=b sin t, t ∈ <0, Π/2>

Příklad 12.2:

Užitím Greenovy věty vypočtěte , kde gama je kladně orientovaná křivka složená ze dvou křivek y=x a y=x2 z bodu A[0,0] do bodu B[1,1]

1. Obrázek (přímka a parabola)

3.

1. Kdy hodnota křivkového integrálu nezávisí na integrační cestě a jak se v tomto případě počítá

Teorie:

Platí : Když existuje na jednoduše souvislé oblasti funkce u= f (x,y,z) taková, že její diferenciál du = P(x,y,z)dx + Q(x,y,z) dy + R (x,y,z) dz, pak pro křivky ležící uvnitř této oblasti nezávisí hodnota integrálu I na integrační cestě a platí, že tuto hodnotu můžeme spočítat I = f(x2,y2,z2) - f(x1,y1,z1) kde A [x1,y1,z1] je počáteční a B [x2,y2,z2 ] koncový bod oblouku L

Postup:

1. Nezávislost na integrační cestě. Platí:

2. Výpočet potenciálu:

   1. Integrovat P podle x  konstantu dosadíme Ψ(yz)

   2. Výsledek derivovat podle y a porovnat s Q  konstantu dosadíme Ψ(z)

   3. Výsledek derivovat podle z a porovnat s R

3. Výpočet práce

A = V(b) – V(a)

Dosadíme do potenciálu koncový bod minus potenciál počátečního bodu.

Příklad 13.1

Ověřte podmínky nezávislosti křivkového integrálu na integrační cestě, najděte potenciál V=V(x,y,z) a pro počáteční bod K a koncový L vypočtěte práci vykonanou polem F.

1. Nezávislost na integrační cestě

 Nezávisí na integrační cestě

1. Výpočet potenciálu

2. Výpočet práce

1. Uveďte aplikace křivkového integrálu ve vektorovém poli (geometrické a fyzikální)