Matematika_teorie_3

Teorie:

1. Když vektor znamená v prostoru sílu, pak integrál udává práci této síly na oblouku L.

2. Když L je rovinná po částech hladká uzavřená křivka, pak plošný obsah části roviny, kterou křivku ohraničuje.

1. Co jsou to ortogonální systémy funkcí

Teorie:

Prvky pro které je jejich skalární součin = 0 (x,y)=0, nazýváme ortogonální (kolmé). Prvky x1, x2,,....... xk tvoří ortogonální systém, když každé dva z nich jsou ortogonální, tj. (xi xj) = 0 pro i ≠j ortogonální systém, který neobsahuje nulový prvek, je tvořen lineárně nezávislými prvky (žádný z nich není v lineární kombinaci ostatních).

Příklad:

Určete, zda jsou funkce f1 = 1, f2 = x ortogonální v prostoru polynomů na intervalu a) [-1,1], b) [0,1]

a) - je ortogonální

b) - není ortogonální

1. Jaký je princip metody nejmenších čtverců

Teorie:

Význam kolmého průmětu y vektoru x do podprostoru M je v tom, že y má ze všech vektorů v M nejmenší vzdálenost od x. Když y náleží M je kolmý průmět vektoru x ∈ V do M říkáme, že vektor x, nahrazujeme vektorem y s chybou || x-y ||. Metoda při které nahrazujeme jeho kolmým průmětem do podprostoru M, se nazývá Metoda nejmenších čtverců. Metodou nejmenších čtverců nahrazujeme funkci (použití ve vyrovnávacích počtech, při řešení sporných soustav)

Příklad 16.1

Zadání:

1. Vytvoříme kombinace

2. Vypočteme integrály násobků v závorkách

3. Dosadíme do soustavy rovnic

4. Vyřešíme soustavu rovnic

5. Dosadíme výsledky do zadání

Příklad 16.2

Příklad 16.3

Příklad 16.4

Příklad 16.5

Příklad 16.6

1. Co je to Fourierova řada funkce a Fourierovy koeficienty.

Teorie:

Fourierova řada je vyjádření jakékoliv periodické funkce za pomocí funkcí harmonických. Při tom čísla a0/2, bn a an, n = 1,2,3... jsou Fourierovy koeficienty.

Vzorce:

- obecný tvar Fourierovy řady

- lichá

- sudá

l .. polovina periody (tj. když x∈<- Π;Π>, tak l = Π)

Používají se vztahy:

n = 2 k; n = 2 k -1

1. Konvergence trigonometrické Fourierovy řady

Teorie:

Je-li 2π periodická funkce f na intervalu <-π,π > po částech spojitá tj. má jen konečný počet bodů nespojitosti 1. druhu, tj. existují jednostranné limity lim( x→ x0-) f(x) = f(x0-) a lim( x→ x0+) f(x) = f(x0+), které jsou různé a po částech monotónní, pak její Fourierova řada konverguje pro každé x.

1. Kosinova Fourierova řada

Teorie:

f (x)~ao/2 +∑... , bn=0, je to sudá funkce, symetrická dle osy y, F(x)= f(x)...( 0,π >, F(x)= f(-x)...(-π, 0 ). Je - li f sudá funkce, tj. f (-x)=f (x), pak i f(x)*cos (nx) je sudá funkce, kdežto f (x)*sin (nx) je lichá funkce. Pro Fourierovy koeficienty 2π - periodické sudé funkce f pak platí ao = 2/π * ∫oπ f (x) dx, an = 2/π * ∫oπ f (x)* cos (nx) dx, bn = 0, pro všechna n. Fourierovy řady pak obsahuje pouze kosinové členy. Je - li f lichá funkce, t.j. f (-x)= -f (x), pak i f(x)*cos (nx) je lichá funkce, kdežto f (x)*sin (nx) je sudá funkce. Pro Fourierovy koeficienty 2π - periodické funkce pak platí, an = 0, pro všechna n. Fourierova řada pak obsahuje pouze sinové členy. Funkce f, která v intervalu < 0,π > splňuje Drichletovy podmínky, chceme někdy rozvinout buď ve Fourierovu řadu sinovou nebo kosinovou.