Matematika_teorie_3

Teorie:

VEKTOR. POLE

Jestliže bodům v prostoru přiřadíme vektory funkcí F : a: = ax(x,y,z)i+ay(x,y,z)j+az(x,y,z)k pak je na definičním oboru funkce F definováno vektorové pole. Poloha bodu v prostoru je dána jeho třemi souřadnicemi M[x,y,z], nebo polohovým vektorem rM =xi+yj+zk. Jestliže souřadnice bodu M jsou funkcemi proměnné t (parametru), je také funkcí parametru t : rM =x(t)i+y(t)j+z(t)k. Když se mění t, mění se i poloha bodu M.

SKALARNI POLE

Je-li dána funkce f: u= f(x,y,z), která každému bodu svého definičního oboru přiřazuje číslo (skalár) je na tomto oboru definováno Skalární pole.

1. Co je křivka a jaké znáte její vlastnosti

Teorie:

Dá se popsat parametrickými rovnicemi x=x(t), y=y(t), z=z(t) t∈J, nebo vektorovou rovnicí jednoho skalárního argumentu ŕ=ŕ(t)= x(t)i+y(t)j+z(t)k t∈J nebo (x(t),y(t),z(t)). Když spojíme několik hladkých orientovaných oblouků L1,L2... tak, že koncový bod oblouku L1 je počátečním bodem L2 a jiné společné body oblouky nemají dostaneme jednoduchý po částech hladký oblouk L. Je li navíc koncový bod posledního oblouku počátečním bodem prvního oblouku dostáváme jednoduchou po částech hladkou uzavřenou křivku.

1. Jak se definuje (dělení oboru, integrální součty) a počítá (převod na určitý) křivkový integrál ve skalárním poli

Teorie:

Je dáno skalární pole a v tomto poli jednoduchý hladký oblouk L. Ten můžeme rozdělit na části, ke každému dílu vytvoříme součin. Všechny tyto součiny sečteme a dostaneme tzv. integrální součet S (f,L,D) závislý na funkci f, na oblouku L a dělení D. Když zjemňujeme dělení tak, že rozdíl rádius vektoru se blíží k nule a součet S(f,L,D) se blíží k nějaké hodnotě I, závislé jen na f,L ne na dělení D, pak existuje křivkový integrál 1. druhu. Píšeme ∫L f(x,y,z) ds= I.

Vzorce:

Příklad 9.1

Příklad 9.2

Příklad 9.3

Příklad 9.4

Spočítejte délku prostorové křivky:

Z bodu A[0;0;0] do bodu B[1;]

Příklad 9.5

Spočítejte těžiště homogenního hmotného oblouku

Příklad 9.6

, kde gama je první oblouk cykloidy

Příklad 9.7

, kde gama je oblouk AB křivky y=ln x A[1;0] B[2;ln 2]

Příklad 9.8

, kde gama je obvod obdélníka určené křivkami: x=0;x=4;y=0;y=2

1. Uveďte aplikace křivkového integrálu ve skalárním poli (geometrické a fyzikální)

Teorie:

1. Délka oblouku křivky

2. Plošný obsah svislé válcové plochy

3. Celkové množství skalární veličiny rozložené na oblouku L s lokální hodnotou ρ (x,y,z) (hmotnost nehomogenního oblouku, jeho elektrický náboj,..)

4. Souřadnice těžiště T hmotného oblouku L

5. Statický moment

Vzorce:

Křivka v rovině:

Délka oblouku křivky:

Obsah svislé válcové plochy:

Křivka v prostoru:

Délka oblouku křivky:

Hmotnost:

S.m.: , ,

Těžiště: , , s

KDE:

Příklad 10.1

Vypočtěte těžiště T křivky

Příklad 10.2

Vypočtěte hmotnost konické šroubovice

Příklad 10.3

Vypočtěte obsah části válcové plochy s řídící křivkou v rovině z=0 a tvořícími přímkami rovnoběžnými s osou z, jestliže: