Matematika_teorie_3

Obsah plochy f(x,y) na D:

Statické momenty oblasti D: ,

Souřadnice těžiště oblasti D:

Mom. setrvačnosti: , ,

Postup výpočtu:

Dosazení do vzorců a výpočet dvojného integrálu

Příklad 3.1

Př. Sestavte integrály pro výpočet momentů setrvačnosti vzhledem k souřadným osám homogenního rovinného obrazce ohraničeného křivkami y = x, y = x2

1. Obrázek: parabola protnutá křivkou.

2. Hranice: x∈<0,1>, y∈

3. , kde c je konstanta označující hustotu. Ostatní nalogicky.

Příklad 3.2

Vypočtěte objem tělesa vymezeného křivkami:

Příklad 3.3

Vypočtěte obsah plochy vyťaté na grafu

válcem

Příklad 3.4

Vypočtěte objem tělesa ohraničeného plochami

Příklad 3.5

Vypočtěte objem tělesa určeného nerovnicemi

Příklad 3.6

Vypočtěte objem tělesa určeného nerovnicemi

Příklad 3.7

Vypočtěte objem tělesa určeného plochami

Příklad 3.8

Vypočtěte obsah plochy vymezené paraboloidem

Příklad 3.9

Vypočtěte X-ovou souřadnice těžiště oblasti: ,

je-li hustota

Příklad 3.10

Vypočtěte moment setrvačnosti Iz oblasti D:

Příklad 3.11

Vypočtěte těžiště T oblasti

D:

1. Jak se definuje (dělení oboru, integrální součty) a počítá (převod na trojnásobný) trojný integrál a jaký je jeho základní význam

Teorie:

Když zjemňujeme pokrytí tělesa A kvádry tak, že ∆ xi se blíží k 0,∆ yi se blíží k 0, ∆ zi se blíží k 0, blíží se součet kvádrů S k jistému číslu I. Pak říkáme, že existuje trojný integrál z funkce F(x,y,z) na oboru A, má hodnotu I a píšeme ∫ ∫ ∫ F(x,y,z)dx dy dz. Integrál existuje, když kromě podmínek při vynášení oboru A ještě platí, že A je ohraničená a uvnitř spojitá. Pro trojný integrál platí analogické vlastnosti jako pro integrál dvojný. Výpočet provádíme rovněž postupnou integrací. Součet S udává přibližně množství udávané veličiny na oboru A.

Postup výpočtu:

Analogicky jako dvojný integrál. (kap. 1)

1. Jak se transformují trojné integrály (obecně, příklady)

Teorie:

Jsou dány funkce x= ϕ (u,v,w), y=ψ (u,v,w), z=χ (u,v,w), takové že:

1. Zobrazují obor B v prostoru (u,v,w), na obor A v prostoru (x,y,z)

2. Jsou na uzavřeném oboru B spojité a mají tam spojité parciální derivace

3. na oboru B platí J ≠0

Transformace do Cylindrických souřadnic x= ρ cos ϕ , y= ρsin ϕ ,z=z ,J= ρ

Sférické x=aρ cos t cos s, y=bρ sin t cos s, z=cρ sin s, J =abcρcos s

Kulové x=rcosϕ sin γ , y= rsinϕ cos γ z=rcos γ, J=r2sin γ

1. Uveďte aplikace trojného integrálu (geometrické, fyzikální)

Teorie:

1. Objem tělesa

2. Hmotnost tělesa

3. Celkové množství veličiny skalárního charakteru rozložené v tělese A s lokální hustotou ρ

4. Souřadnice těžiště T tělesa A

5. Statický moment

6. Momenty setrvačnosti

Vzorce:

Objem :

Povrch :

Hmotnost : , kde σ je hustota

S. m.: , ,

Souřadnice těžiště:

1. Jak popisujeme skalární pole a vektorové pole (skalární funkce, a vektorová funkce.)