6.Průběh funkce-postup

Derivace a pr ˚ub ˇeh funkce.

Robert Maˇr´ık

26. z ´aˇr´ı 2008

Obsah

1 Z ´akladn´ı myˇslenky.

2

2 Pˇresn ´e v ˇety a definice

10

3 Okol´ı nevlastn´ıch bod ˚u.

16

4 Sestrojen´ı grafu funkce.

19

//

/

.

..

c

Robert Maˇr´ık, 2008 ×

1

Z ´akladn´ı myˇslenky.

//

/

.

..

c

Robert Maˇr´ık, 2008 ×

x

y

Uvaˇzujme n ´asleduj´ıc´ı funkci.

//

/

.

..

c

Robert Maˇr´ık, 2008 ×

x

y

Derivace je kladn ´a (= smˇernice teˇcny je kladn ´a)
⇒ teˇcna je rostouc´ı
⇒ funkce je rostouc´ı.

//

/

.

..

c

Robert Maˇr´ık, 2008 ×

x

y

Derivace je z ´aporn ´a (= smˇernice teˇcny je z´aporn´a)
⇒ teˇcna je klesaj´ıc´ı
⇒ funkce je klesaj´ıc´ı.

//

/

.

..

c

Robert Maˇr´ık, 2008 ×

x

y

• Lok ´aln´ı maximum (bod, v jehoˇz okol´ı nen´ı ˇz´adn´a vyˇsˇs´ı funkˇcn´ı hod-

nota) m ´a spojit ´a funkce v bod ˇe, kde se m ˇen´ı z rostouc´ı na klesaj´ıc´ı.

• Lok ´aln´ı minimum (bod, v jehoˇz okol´ı nen´ı ˇz´adn´a niˇzˇs´ı funkˇcn´ı hod-

nota) m ´a spojit ´a funkce v bod ˇe, kde se m ˇen´ı z klesaj´ıc´ı na rostouc´ı.

• Je-li derivace nenulov ´a, funkce nedosahuje lok ´aln´ıho extr ´emu. Je-

li v bod ˇe lok ´aln´ı extr´em, pak je derivace bud’ nulov´a (=: sta-
cion ´arn´ı bod) nebo derivace neexistuje.

//

/

.

..

c

Robert Maˇr´ık, 2008 ×

x

y

y00 < 0 (y0 m ´a z ´apornou derivaci a tedy kles ´a)

⇒ r ˚ust se zpomaluje a pˇr´ıpadnˇe se mˇen´ı na pokles; pokles se zrychluje
⇒ funkce je v okol´ı bodu dotyku pod te ˇcnou (=: konk ´avn´ı)

//

/

.

..

c

Robert Maˇr´ık, 2008 ×

x

y

y00 > 0 (y0 m ´a kladnou derivaci a tedy roste)

⇒ r ˚ust se zrychluje; pokles zpomaluje a pˇr´ıpadnˇe se mˇen´ı na r˚ust
⇒ funkce je v okol´ı bodu dotyku nad te ˇcnou (=: konvexn´ı)