6.Průběh funkce-postup

0(x

0) = 0 a x0 je stacion ´

arn´ım bodem funkce f .

//

/

.

..

c

Robert Maˇr´ık, 2008 ×

V ˇeta 2 (souvislost derivace a monotonie). Necht’ funkce f m ´a derivaci na
otevˇren ´em intervalu I.

• Je-li f 0(x) > 0 na intervalu I, je funkce f rostouc´ı na I.

• Je-li f 0(x) < 0 na intervalu I, je funkce f klesaj´ıc´ı na I.

Definice (stacion ´arn´ı bod). ˇRekneme, ˇze bod x0 je stacion ´arn´ım bodem
funkce f , jestliˇze funkce f m ´a v bod ˇe x0 nulovou derivaci, tj. f

0(x

0) = 0.

Pozn ´amka 2 (geometrick´y v´yznam). Geometricky jsou stacion ´arn´ı body
body, ve kter´ych m ´a graf funkce vodorovnou teˇcnu (proˇc?).

V ˇeta 3 (souvislost derivace a lok ´aln´ıch extr´em˚u). Necht’ m´a funkce v bodˇe
x0 lok´aln´ı extr´em. Pak funkce f v bodˇe x0 bud’ nem´a derivaci, nebo je tato
derivace nulov ´a, tj. plat´ı f

0(x

0) = 0 a x0 je stacion ´

arn´ım bodem funkce f .

//

/

.

..

c

Robert Maˇr´ık, 2008 ×

Definice (konvexnost, konk ´avnost). Bud’ f funkce maj´ıc´ı derivaci v bod ˇe
x0. ˇRekneme, ˇze funkce f je v bod ˇe x0 konvexn´ı (konk ´avn´ı), jestliˇze exis-
tuje ryz´ı okol´ı bodu x0 takov´e, ˇze pro vˇsechna x ∈ O(x0) leˇz´ı body grafu
funkce nad teˇcnou (pod teˇcnou) ke grafu funkce f sestrojenou v bod ˇe x0,
tj. plat´ı

f (x) > f (x0) + f

0(x

0)(x − x0)

f (x) < f (x0) + f

0(x

0)(x − x0)

. (1)

ˇ

Rekneme, ˇze funkce je konvexn´ı (konk ´avn´ı) na otevˇren ´em intervalu I,
m ´a-li tuto vlastnost v kaˇzd ´em bod ˇe intervalu I.

Definice (inflexn´ı bod). Bod ve kter ´em se mˇen´ı charakter funkce z kon-
vexn´ı na konk ´avn´ı nebo naopak naz´yv´ame inflexn´ım bodem funkce f .