01_Spojité signály

Příklad: Součet 2 periodických signálů. Výsledek – periodický / neperiodický ?

𝑓(𝑡) = 𝑓(𝑡 + 𝑃)

pro všechny hodnoty t a pro kladnou hodnotu P. Nejmenší možná kladná hodnota P splňující
uvedenou podmínku se nazývá „základní perioda signálu“.

𝑓0 =

1

𝑃

[𝐻𝑧]

𝜔0 =

2𝜋

𝑃

[𝑟𝑎𝑑/𝑠]

Fourierova analýza

Proč je důležité vědět, zda je signál periodický či ne?

Je-li spojitý signál f(t) periodický, je možné provést jeho analýzu rozvojem do tzv. Fourierovy řady (FŘ):

Je-li spojitý signál neperiodický, je třeba využít pro jeho analýzu tzv. Fourierovu transformaci (FT).

𝑓 𝑡 = 𝑎0 + 2 ෍

𝑚=1

∞

𝑎𝑚𝑐𝑜𝑠 𝑚𝜔0𝑡 + 𝑏𝑚𝑠𝑖𝑛 𝑚𝜔0𝑡

využitím Eulerova vztahu 𝐴 𝑒𝑗𝑥 = 𝐴 (cos 𝑥 + 𝑗 sin 𝑥) a dalších úprav

𝑓 𝑡 = ෍

𝑚=−∞

∞

𝑐𝑚𝑒𝑗𝑚𝜔0𝑡

… komplexní forma Fourierovy řady

Fourierova řada

Spojitý periodický signál f(t) lze zapsat ve formě Fourierovy řady, pokud splňuje tzv. Dirichletovy
podmínky:

funkce f(t) musí být absolutně integrovatelná přes jednu periodu, tzn.:

funkce f(t) musí mít na intervalu (0,P) konečný počet nespojitostí a konečný počet minim a maxim.

Příklady: Uvažujme následující funkce s periodou P = 1.

න

0

𝑃

𝑓 𝑡 𝑑𝑡 ≤ 𝑀 < ∞

𝑓1 𝑡 =

1

𝑡

𝑓2 𝑡 = sin

1

𝑡

න

0

1

𝑓1 𝑡 𝑑𝑡 = ⋯ = ∞

Fourierova řada

Komplexní tvar Fourierovy řady je tedy:

Soubor (množina) koeficientů {cm} pak definuje tzv. diskrétní frekvenční spektrum signálu f(t).

Koeficienty cm jsou obecně komplexní čísla ve tvaru:

Častěji se hodnoty spektrálních složek převádí do goniometrického tvaru, čili:

, kde cm ... Fourierovy koeficienty – spektrální složky

𝑐𝑚 = 𝛼𝑚 + 𝑗 ∙ 𝛽𝑚

𝑐𝑚 = 𝑐𝑚 ∙ 𝑒𝑗 ∙ arg(𝑐𝑚)