01_Spojité signály

Veličinu 𝜔0 lze považovat za diferenciál d𝜔 a nekonečný součet (suma) přechází v integrál.

V důsledku těchto změn lze psát: 𝐹(𝜔) = 𝑃 ∙ 𝑐𝑚

Důsledek:

𝑓 𝑡 = ෍

𝑚=−∞

∞

𝑐𝑚𝑒𝑗𝑚𝜔0𝑡

𝑓 𝑡 =

1

2𝜋

න

−∞

∞

𝐹 𝜔 𝑒𝑗𝜔𝑡 𝑑𝜔

𝑐𝑚 =

1

𝑃

න

−𝑃

2

𝑃

2

𝑓 𝑡 𝑒−𝑗𝑚𝜔0𝑡𝑑𝑡

𝐹(𝜔) = න

−∞

∞

𝑓 𝑡 𝑒−𝑗𝜔𝑡𝑑𝑡

FŘ

FT

Fourierova transformace

Fourierova transformace (FT) je tedy definována vztahem:

Inverzní Fourierova transformace (IFT) je pak:

Výsledkem FT je spojité frekvenční spektrum 𝐹(𝜔) reprezentující obecně komplexní číslo

𝑓 𝑡 → 𝐹 𝜔

𝐹 𝜔 → 𝑓 𝑡

𝐹(𝜔) = 𝑅𝑒 𝐹(𝜔) + 𝑗 ∙ 𝐼𝑚 𝐹(𝜔)

𝐹(𝜔)

… amplitudové spektrum 

𝜑 𝜔 = arg(𝐹(𝜔)) … fázové (argumentové) spektrum

označení FT je: ℱ{ }

označení IFT je:  ℱ−1{ }

𝐹(𝜔) = න

−∞

∞

𝑓 𝑡 𝑒−𝑗𝜔𝑡𝑑𝑡

𝑓 𝑡 =

1

2𝜋

න

−∞

∞

𝐹 𝜔 𝑒𝑗𝜔𝑡 𝑑𝜔

Fourierova transformace

Příklady …

𝐹(𝜔) = 𝑅𝑒 𝐹(𝜔) + 𝑗 ∙ 𝐼𝑚 𝐹(𝜔)

𝐹(𝜔)

… amplitudové spektrum 

𝜑 𝜔 = arg(𝐹(𝜔)) … fázové (argumentové) spektrum

𝑓 𝑡 =

1

2𝜋

න

−∞

∞

𝐹 𝜔 𝑒𝑗𝜔𝑡 𝑑𝜔

𝐹(𝜔) = න

−∞

∞

𝑓 𝑡 𝑒−𝑗𝜔𝑡𝑑𝑡

Fourierova transformace - vlastnosti

Linearita

FT je lineární transformace, čili platí:

Fourierův obraz derivace

Fourierův obraz integrace

𝑓 𝑡 = 𝛼1 ∙ 𝑓1 𝑡 + 𝛼2 ∙ 𝑓2 𝑡

𝐹 𝜔 = 𝛼1 ∙ 𝐹1 𝜔 + 𝛼2 ∙ 𝐹2 𝜔

𝑑𝑓 𝑡

𝑑𝑡

→ 𝑗𝜔 𝐹(𝜔)

න 𝑓 𝑡 𝑑𝑡 →

1

𝑗𝜔

𝐹(𝜔)

využívá se pro numerické řešení derivace/integrace 
a pro frekvenční popis dynamických systémů 

Fourierova transformace - vlastnosti

Posun signálu v časové doméně

Je-li signál 𝑓(𝑡) posunutý v čase o konstantní hodnotu a, pak jeho FT je: