01_Spojité signály

𝑐𝑚

… amplitudové spektrum 

arg(𝑐𝑚) … fázové (argumentové) spektrum

𝑓 𝑡 = ෍

𝑚=−∞

∞

𝑐𝑚𝑒𝑗𝑚𝜔0𝑡

𝑐𝑚 =

1

𝑃

න

−𝑃

2

𝑃

2

𝑓 𝑡 𝑒−𝑗𝑚𝜔0𝑡𝑑𝑡

Fourierova řada

Příklady …

𝑐𝑚 = 𝛼𝑚 + 𝑗 ∙ 𝛽𝑚

𝑐𝑚

… amplitudové spektrum 

arg(𝑐𝑚) … fázové (argumentové) spektrum

𝑓 𝑡 = ෍

𝑚=−∞

∞

𝑐𝑚𝑒𝑗𝑚𝜔0𝑡

𝑐𝑚 =

1

𝑃

න

−𝑃

2

𝑃

2

𝑓 𝑡 𝑒−𝑗𝑚𝜔0𝑡𝑑𝑡

Fourierova řada - vlastnosti

Můžeme si všimnout, že komplexní tvar FŘ uvažuje tzv. kladné i záporné frekvence, resp. kladné i
záporné koeficienty m.

Na základě vlastností tohoto tvaru FŘ lze odvodit následující:

pro reálnou funkci je amplitudové spektrum sudou funkcí m a fázové spektrum je lichou funkcí m, tedy

frekvenční spektrum reálné sudé funkce je čistě reálné *

frekvenční spektrum reálné liché funkce je čistě imaginární *

𝑐𝑚 = 𝑐−𝑚

arg(𝑐𝑚) = −arg(𝑐−𝑚)

𝑓 𝑡 = ෍

𝑚=−∞

∞

𝑐𝑚𝑒𝑗𝑚𝜔0𝑡

* souvisí s fázovým spektrem

Fourierova řada

Fourierova řada 

* 1 perioda spojitého periodického obdélníkového signálu

Fourierova řada

Jednotlivé koeficienty spektra signálu 𝑐𝑚 nesou informaci o velikosti amplitudy (a fáze) dané

frekvenční složky.

Výpočtem kvadrátu absolutní hodnoty koeficientu 𝑐𝑚 , tedy 𝑐𝑚 2 , tak lze zjistit i výkon nesený

jednotlivými frekvenčními složkami.

Celkový výkon signálu reprezentovaného ve frekvenční oblasti je:

Reprezentace signálu v časové či frekvenční oblasti (užitím FŘ) je ekvivalentní co do množství
informací o signálu.

𝑃𝑊 = ෍

𝑚=−∞

∞

𝑐𝑚 2

𝑃𝑊 =

1

𝑃

න

0

𝑃

𝑓 𝑡 2 𝑑𝑡 = ෍

𝑚=−∞

∞

𝑐𝑚 2

Parcevalova rovnost 

Fourierova transformace

Fourierova transformace (FT) je zobecněním Fourierovy řady pro analýzu neperiodických signálů

𝑃 → ∞

Fourierova transformace

Prodlužováním periody 𝑃 → ∞ je 𝜔0 = 2𝜋/𝑃 → 0 a veličina 𝜔 se stává spojitou veličinou.