31) Kombinatorika

Příklady z maturitních testů Cermat-u ( základní úroveň ) – Kombinatorika

1) Určete neznámé číslo k, jestliže platí: 100! = k * 98!
Ostrý maturitní test Cermat-u ( základní úroveň ) – jaro 2011, příklad č. 5
Body: 1 Výsledek: k = 99 * 100 resp. k = 9900 resp. 9900

Pracovní tematické zařazení: Kombinatorika
Řešení:

100! = k * 98! /: 98!

= k

= k

100 * 99 = k 9 900 = k
--------------------------------------------------
2) Určete neznámé číslo m, jestliže platí: m! *

= 2*4*6*8*10*12*14*16

Ostrý maturitní test Cermat-u ( základní úroveň ) – jaro 2011, příklad č. 6
Body: 1 Výsledek: m = 8 resp. m! = 8!

Pracovní tematické zařazení: Kombinatorika
Řešení:
1. způsob
m! *

= 2*4*6*8*10*12*14*16 m! * 256 = 10 321 920 /: 256

m! = 40 320 zkusmo na kalkulačce … m = 8
2. způsob
m! *

= 2*4*6*8*10*12*14*16

m! *

= 2 * 2

2 * 2 * 3 * 23 * 2 * 5 * 22 * 3 * 2 * 7 * 24

m! *

= 2

15 * 32 * 5 * 7 /: 28 m! = 27 * 32 * 5 * 7

m! = 2

3 * 7 * 2 * 3 * 5 * 22 * 3 * 2 m! = 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2

m! = 8! m = 8
--------------------------------------------------
3) Cesta prochází několika křižovatkami. Na každé křižovatce je možné zahnout doleva (L),
doprava (P), nebo pokračovat v přímém směru (S). Průjezd dvěma křižovatkami je možné
zapsat dvojicí znaků, např. PP, SL apod. Kolika způsoby může auto projet dvěma
křižovatkami ? A) 9 B) 8 C) 6 D) 5 E) 4
Ostrý maturitní test Cermat-u ( základní úroveň ) – jaro 2011, příklad č. 21
Body: 2 Výsledek: A

Pracovní tematické zařazení: Kombinatorika
Řešení:
Kombinatorické pravidlo součinu pro 2 množiny ( nikoli přesná definice, pouze vysvětlení ):
Máme-li v 1. situaci A možností volby a v následné navazující situaci B možností volby, je
celkový počet voleb A*B.
Kombinatorické pravidlo součinu platí nejen pro 2 množiny, ale pro libovolný počet množin.

Na 1. křižovatce máme 3 možnosti volby ( L, P, S ), na 2. křižovatce máme 3 možnosti volby
( L, P, S ). Celkový počet voleb je tedy 3 * 3 = 9. Situaci lze znázornit takto:
na 1. křižovatce L na 1. křižovatce P na 1. křižovatce S
----- L … LL ----- L … PL ----- L … SL
L ----- P … LP P ----- P … PP S ----- P … SP
----- S … LS ----- S … PS ----- S … SS
--------------------------------------------------

Příklady z maturitních testů Cermat-u ( základní úroveň ) – Kombinatorika

4) Vláďa si vylosuje jednu otázku ze skupiny 10 otázek a dále dvojici otázek z jiné skupiny
20 otázek. Kolik různých trojic otázek je ve hře ?
A) 4 600 B) 4 000 C) 3 800 D) 1 900 E) jiný počet
Ostrý maturitní test Cermat-u ( základní úroveň ) – podzim 2011, příklad č. 23
Body: 2 Výsledek: D

Pracovní tematické zařazení: Kombinatorika
Řešení:
Kombinatorické pravidlo součinu pro 2 množiny ( nikoli přesná definice, pouze vysvětlení ):
Máme-li v 1. situaci A možností volby a v následné navazující situaci B možností volby, je
celkový počet voleb A*B.
Kombinatorické pravidlo součinu platí nejen pro 2 množiny, ale pro libovolný počet množin.

Počet možností volby v 1. situaci ( „problém trenéra oštěpařů“ ) … 10 nad 1 = 10
Počet možností volby v 2. situaci ( „problém trenéra oštěpařů“ ) … 20 nad 2 =