31) Kombinatorika

= 2011 ∙ 2010

= 2011 * 2010

( m + 2 )( m + 1 ) = 2011 * 2010 m = 2 009
Poznámka: Kvadratickou rovnici ( m + 2 )( m + 1 ) = 2011 * 2010 by bylo možné řešit
běžným způsobem, v tomto případě by to ale bylo zbytečně zdlouhavé.
--------------------------------------------------

Příklady z maturitních testů Cermat-u ( základní úroveň ) – Kombinatorika

3p) Pětimístné slovo je možné poskládat ze dvou čárek a tří teček, například

Kolik takových různých slov existuje ?

A) 10 B) 20 C) D) 2

2 ∙ 33 E) jiný počet

Ostrý maturitní test Cermat-u ( základní úroveň ) – jaro 2011 PUP, příklad č. 21
Body: 2 Výsledek: A

Pracovní tematické zařazení: Kombinatorika
Řešení:
n = 2 ( tečka, čárka ) k = 5 ( délka slova ) pořadí … záleží
opakování prvků v k-tici … ano
Pozor ! – nejedná se o variace s opakováním – u nich se každý symbol může v k-tici opakovat
až k krát ( např. slovo složené z pěti teček, pěti čárek atd. ). Zde se jedná o permutace
s opakováním – i u nich záleží na pořadí. Rozdíl oproti variacím s opakováním je ale v tom,
že je přesně stanoveno, kolikrát se každý ze symbolů má v k-tici opakovat ( zde se čárka musí
opakovat právě dvakrát a tečka právě třikrát ).
Vzorec pro permutace s opakováním:

P´k1, k2, , kn ( k ) =

n … počet prvků, které máme k dispozici
k … počet prvků vytvářené k-tice
k1 = počet opakování 1. prvku, k2 = počet opakování 2. prvku, … , kn = počet opakování
n-tého prvku ( k1 + k2 + … + kn = k )
Zde platí, že k1 = 2 ( počet opakování čárky ) a k2 = 3 ( počet opakování tečky ).
Logicky také platí, že k1 + k2 = k ( zde 2 + 3 = 5 … délka slova ).

P´k1, k2 ( k ) =

=

=

= 10

--------------------------------------------------
1i) V kódu je na prvním místě jedno z písmen

nebo . Na dalších dvou pozicích je

libovolné dvojciferné číslo od 11 do 45. ( Existují např. kódy

apod. ).

Určete počet všech takto vytvořených kódů.
Ilustrační maturitní test Cermat-u ( základní úroveň ) – 2010 (2), příklad č. 10
Body: 2 Výsledek:

Pracovní tematické zařazení: Kombinatorika
Řešení:
Kombinatorické pravidlo součinu pro 2 množiny ( nikoli přesná definice, pouze vysvětlení ):
Máme-li v 1. situaci A možností volby a v následné navazující situaci B možností volby, je
celkový počet voleb A*B.
Kombinatorické pravidlo součinu platí nejen pro 2 množiny, ale pro libovolný počet množin.

Na prvním místě kódu máme 4 možnosti volby ( jedno z písmen

nebo ). Na dalších

dvou místech máme 35 ( pozor !!!, nikoli 34 ) možností volby. Celkový počet voleb je tedy
4 * 35 = 140
--------------------------------------------------

Příklady z maturitních testů Cermat-u ( základní úroveň ) – Kombinatorika

2i)

Kolika způsoby je možné na polích šachovnice rozmístit tři stejné figury tak, aby byly
všechny tři na hlavní, nebo všechny tři na vedlejší diagonále ?
A) 16 B) 20 C) 30 D) 32 E) 33
Ilustrační maturitní test Cermat-u ( základní úroveň ) – 2012, příklad č. 22
Body: 2 Výsledek: B

Pracovní tematické zařazení: Kombinatorika
Řešení:
Pozor !!! – nejedná se o úlohu typu „lidé a židle“, neboť všechny 3 figury jsou stejné. Nejedná
se ani o kombinatorické pravidlo součinu, neboť figury mají být buď jen na hlavní nebo jen
na vedlejší diagonále ( nikoli tedy 3 na hlavní diagonále a 3 na vedlejší diagonále ).
Musíme tedy spočítat, kolika způsoby je možno figury rozmístit na hlavní a kolika na vedlejší
diagonále ( počet způsobů je stejný, neboť obě diagonály mají stejný počet polí ) a oba
získané výsledky sečíst.
Jedná se zde o „problém trenéra oštěpařů“ ( kolika způsoby lze z 5 polí diagonály vybrat 3
pole ), tedy o kombinace bez opakování.
n = 5 ( počet polí jedné diagonály ) k = 3 ( 3 vybraná pole ) pořadí … nezáleží
opakování prvků v k-tici … ne