37) Analytická geometrie

Příklady z maturitních testů Cermat-u ( základní úroveň ) – Analytická geometrie

11i)

Doplňte chybějící souřadnici bodu A[ 6;

] ∈ p a souřadnice směrového vektoru

= (

) přímky p.

Ilustrační maturitní test Cermat-u ( základní úroveň ) – 2014 (2), příklad č. 10
Body: 2 Výsledek: A[ 6; 5 ] = ( 3; 2 )

Pracovní tematické zařazení: Analytická geometrie
Řešení:
Pro doplnění chybějící souřadnice bodu A[ 6;

] ∈ p potřebujeme znát rovnici přímky p.

Najdeme např. její obecnou rovnici.
Na obrázku jsou patrné souřadnice tří bodů zadané přímky p: A[ –3; –1 ], B[ 0; 1 ], C[ 3; 3 ].
Směrovým vektorem přímky p je např. vektor

( ale také

,

atd. ).

= B – A = ( b1 – a1 , b2 – a2 ) = ( 3, 2 )

Normálovým vektorem přímky p je tedy např. vektor o souřadnicích ( 2, –3 ).
obecná rovnice přímky … p: ax + by + c = 0
p: 2x –3y + c = 0
např. A[ –3; –1 ] Є p … 2*(–3) – 3*(–1) + c = 0
– 6 + 3 + c = 0
c = 3
p: 2x –3y + 3 = 0
Bod A[ 6;

] leží na přímce p právě tehdy, když jeho souřadnice vyhovují rovnici přímky p.

p: 2x –3y + 3 = 0 2*6 – 3a2 + 3 = 0 15 = 3a2 5 = a2
Závěr: a2 = 5, takže A[ 6; 5 ]. Směrovým vektorem přímky p je např. vektor o souřadnicích
( 3, 2 ) ( nebo jakýkoli jeho nenulový násobek ).
--------------------------------------------------

Příklady z maturitních testů Cermat-u ( základní úroveň ) – Analytická geometrie

12i) V trojúhelníku ABC platí:

= ( –1, 3 ),

= ( 6, 9 ). Jaká je délka strany AC ?

A)

B)

C) 11 D)

E) 13

Ilustrační maturitní test Cermat-u ( základní úroveň ) – 2014 (2), příklad č. 21
Body: 2 Výsledek: E

Pracovní tematické zařazení: Analytická geometrie
Řešení:
délka strany AC = velikost vektoru

… neznáme souřadnice tohoto vektoru

Sčítání vektorů graficky
Vektory umístíme tak, aby v koncovém bodě prvního vektoru byl počáteční bod druhého
vektoru ( „vláček“ ). Počáteční bod výsledného vektoru = počáteční bod prvního vektoru,
koncový bod výsledného vektoru = koncový bod druhého vektoru.
Z uvedené poučky plyne, že

+

=

( udělej si náčrtek )

Sčítání vektorů početně

+ = ( u1, u2 ) + ( v1, v2 ) = ( u1 + v1 , u2 + v2 ) … součet vektorů = ( u1, u2 )

a = ( v1, v2 )

+

= ( –1, 3 ) + ( 6, 9 ) = ( 5, 12 ) … souřadnice vektoru

l l = √ ( u1

2 + u2 2 ) … velikost vektoru = ( u1, u2 )

l

l = √( 5

2 + 122 ) = √169 = 13

--------------------------------------------------
1s) Trojúhelník ABC má vrcholy A

, B

, C

. Na které přímce leží výška

vc trojúhelníku ABC ? A) p: x – y + 2 = 0 B) p: 3x – y – 2 = 0

C) p: 3x + y – 10 = 0 D) p: x + y – 6 = 0 E) p: 2x – y = 0
Soubor vzorových úloh matematika ( vypracováno Cermatem v roce 2013 ),
kapitola 8 – příklad č. 11
Body: neuvedeno Výsledek: A

Pracovní tematické zařazení: Analytická geometrie
Řešení:
Trojúhelník ABC si načrtni. Výška vc je kolmice spuštěná z vrcholu C na stranu c ( tj. stranu
AB ). Normálovým vektorem přímky p je například vektor